江苏省2012届高考数学二轮复习：第21讲转化与化归思想

来源：网络收集时间：2026-09-08

导读：第21讲转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式．应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时

第21讲转化与化归思想

转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式．

应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等．

分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段．

1. 已知正实数x、y满足＝1，则x＋y的取值范围是________．

0，都成立，则实数a的最小值为________． 2.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈ 2

3.函数y＝x2－x的值域为________．

4.函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是________．

→→

【例1】已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，求PA·PB的最小值．

【例2】若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．

1 n＋11*

【例3】在数列{an} 中a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝ (n∈N)． 3 3(1) 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；

(2) 若S1, t (S1＋S2 ), 3(S2＋S3) 成等差数列，求实数t的值．

a－ x2＋lnx(a∈R)．【例4】已知函数f(x)＝ 2

(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2) 若x∈[1,3]，使f(x)<(x＋1)lnx成立，求实数a的取值范围；

(3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y＝2ax下方，求实数a的取值范围．

1. (2011·福建)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线r的离心率等于________．

y≥x，

2.(2011·湖南)设m>1，在约束条件 y≤mx，

x＋y≤1

下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，

则实数m的取值范围为________．

3.(2011·全国)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥OABCD的体积为________．

4.(2011·湖南)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．

5.(2009·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，

25→→

AB·AC＝3.

(1) 求△ABC的面积；

(2) 若b＋c＝6，求a的值．

6.(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1) 设e|BC|与|AD|的比值；

(2) 当e变化时，是否存在直线l

，使得BO∥AN，并说明理由．

(2008·北京)(本小题满分13分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2， )，λ是常数．

(1) 当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2) 数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； (3) 求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时总有an<0. 解：(1) 由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2， )，且a1＝1. 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.(2分)

从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(4分)

(2) 数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得

a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．

若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.

于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.

这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．( 8分)

(3) 记bn＝n2＋n－λ(n＝1,2， )，根据题意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2＋n(n∈N*)，这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，bn>0；当n≤n0－1时，bn<0.

所以由an＋1＝bnan及a1＝1>0可知，若n0为偶数，则an0<0，从而当n>n0时，an<0；若n0为奇数，则an0>0，从而当n>n0时an>0.( 10分)

因此“存在m∈N*，当n>m时总有an<0”的充分必要条件是：n0为偶数．记n0＝2k(k＝1,2， )，则λ满足

b2k＝ 2k ＋2k－λ>0， 2 b＝ 2k－1 ＋2k－1－λ<0.－ 2k1

故λ的取值范围是4k2－2k<λ<4k2＋2k(k∈N*)．( 13分)

→→→

1. △ABC内接于以O为圆心的圆，且3OA＋4OB－5OC＝0.则∠C＝__________. 【答案】

3π→→→→→→

解析：3OA＋4OB－5OC＝0，∴ 3OA＋4OB＝5OC，∴ 9OA2＋16OB24

3π→→

＋24OA·OB＝25OC2，OA＝OB＝OC，OA⊥OB.即∠C＝.

(注意结合图形，把问题转化．)

2. 设正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数．已知对任意正整数n, m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．

(1) 求证：数列{an}是等比数列；

112

(2) 若正整数n, m, k成等差数列，求证：＋≥SnSkSm

证明：(1) 因为对任意正整数n，m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．

所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝qn1S1，即an＝a1·qn1，且a1也适合，又an＞0，

－

a故当n≥2q(非零常数)，即{an}是等比数列．

an－1(2) 若q＝1，则Sn＝na1，Sm＝ma1，Sk＝ka1.

11n＋k2m2m2m22所以＋＝≥＝＝＝SnSknka1nka1 n＋k 2ma1ma1Sm

·a1

2 a1 1－qn a1 1－qm a1 1－qk

若q≠1，则Sn＝，Sm＝，Sk＝.

1－q1－q1－q11

所以＋2

SnSk

＝SnSk

1－q .

1－q 1－q a1

＋

又因为(1－qn)(1－qk)＝1－(qn＋qk)＋qnk≤1－2q＋qnk

＝1－2qm＋q2m＝(1－qm)2. 11所以＋2

SnSk

＝SnSk

1－q ≥ 1－q 1－q a1

1－q 2

＝ 1－q ·a1Sm

112

综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，不等式＋≥(当且仅当n＝m＝k时取

SnSkSm

“＝”)总成立．

基础训练

x＋y211

1. 4 ＋1得x＋y＝xy，由基本不等式得xy≤ xy 2，x＋y≥4.

1151

0，都成立，∴ a≥－ x＋，而y＝－x－2. 解析：x2＋ax＋1≥0对一切x∈ 2 x2x15

0，上单调增，ymax＝－. 在 2 2

－∞，解析：函数y＝x＋2－x的定义域为(－∞，2]； 3. 4 19

t－2＋，也可用导数． 2－x＝t≥0，y＝－t2＋t＋2＝－ 24

4. 0＜b＜1 解析：f′(x)＝3x2－3b＝0，x＝b，显然b＞0，单调区间为(－∞，－b)，

(bb)，(b，＋∞

)，∴ x＝b时取极小值，0b＜1,0＜b＜1.

例题选讲

例1 解：设∠APB＝θ，0＜θ＜π， →→PA·PB＝|PA||PB| …… 此处隐藏：4781字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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