刘喜波讲义答案

考研复习题答案

第一讲函数、极限与连续

题型一、函数的概念和性质

xsin(x 2)

例1、（0434）函数f(x)=在下列哪个区间内有界

x(x 1)(x 2)2

（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）A答案：答案：A

【详解】本题要讨论的是开区间的有界性．易知f（x）的定义域是（-∞,0）∪（0,1）∪（1,2）∪（2,+∞）,在（-1,0）连续,且在x=-1的右极限、x=0的左极限为

|x|sim(x-2) sin3sin3

lim+f（x）=lim+==-，2x→ 1x→ 1x(x 1)(x 2)2 918

|x|sin(x 2)sin2

limf(x)=lim= ．2x→0 x→0 x(x 1)(x 2)4故f（x）在（-1,0）有界,选（A）．

另外,也可由

|x|sin(x 2)lim=∞,x→1x(x 1)(x 2)2排除（B）,（C）,以及由

lim

x→2

|x|sin(x 2)

=∞,

x(x 1)(x 2)2

排除（D）,从而选（A）．

例2、（0534）以下四个命题中正确的是（）

（A）若f'(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界（B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界（C）若f'(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界（D）若f(x)在（0，1）内有界，则f'(x)在（0，1）内有界C答案：答案：C

1

B）不正确）、（B,（A）、（

x

f(x)=x,（D）不正确

例3、（051、2）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C）F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数

分析：f(x)=A答案：答案：A

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题型二、极限的概念和性质

11

例4、当x→0时，3cos是

xx

（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无

穷大D答案：答案：D

分析：考虑特殊序列

11，xn=yn=

2nπ

2nπ+

2

例5、（0312）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman=0,limbn=1,limcn=∞,

n→∞

n→∞

n→∞

则必有

(A)an<bn对任意n成立.(C)极限limancn不存在.

n→∞

(B)bn<cn对任意n成立.(D)极限limbncn不存在.

n→∞

[D]

【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限limancn是0 ∞型未定式，可能存在也可能不存在，举反

n→∞

例说明即可；极限limbncn属1 ∞型，必为无穷大量，即不存在.

n→∞

【详解】用举反例法，取an=除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).

21

，bn=1，cn=n(n=1,2, )，则可立即排n2

例6、已知f(x)在x=0处连续，且lim(

x→0

sinxf(x)'

+=2f(0),f(0)，求x2x

【详解】所以即

1 sinx sinxf(x)

lim 2+=lim +f(x) =2, x→0x x→0x x x

sinx lim +f(x) =0,x→0

x

f(0)+1=0 f(0)= 1.

f(x) f(0)f(x)+1

f′(0)=lim=lim

x→0x→0xx f(x)sinx1sinx

=lim +2+ 2

x→0xxx x

x sinx 1sinx

=2+lim 2 =2+lim

x→0xx→0x x2

1 cosx

=2+lim=2+0=2.

x→02x

注：还可利用极限的性质

考研复习题答案

题型三、求函数的极限

1）用运算法则应注意的问题

2x+1

例7、求极限lim

x→ ∞

x2+x

[解]分子分母同除以x时，注意x为负

12+

x= 2原式=lim

x→ ∞

1

1+

x

注：应注意符号问题例8、求极限lim(

x→0

2+e

1x4x

ln(1+x)

1+e

注：应注意极限不存在情形的处理(要考虑左、右极限)解：lim+(

x→0

+

sinx

2+e1+e2+e

1x4x1x4x

+

sinxln(1+x)sinxln(1+x)

=lim(+

x→0

2e

4

x4x

+e

1x4x

3x

+

e

+1

sinx

=1

ln(1+x)

1+e

所以原式=1

0∞

2）未定式1、或型

0∞

x→0

lim (

+

=lim (

x→0

2+e1+e

sinx

=2 1=1

ln(1+x)

例9、（113）求极限lim

x→0

+2sinx x 1

.

xln(1+x)

【分析】直接利用洛比达法则或分子有理化,及等价无穷小替换【详解一】用洛比达法则

+2sinx x 1+2sinx x 1cosx +2sinxlim=lim=limx→0x→0x→0xln(1+x)x22x+2sinx

cosx

sinx

cosx +2sinx+2sinx= 1=lim=limx→0x→02x22.

【详解二】先分子有理化再用洛比达法则

+2sinx x 11+2sinx (x+1)212sinx x2 2xlim=lim2=limx→0x→0xln(1+x)x2x(+2sinx+x+1)2x→0

12cosx 2x 211=lim=lim( sinx 1)= .2x→02x2x→02

【评注】求函数极限时,注意化简思想的体现,如等价无穷小替换、提出极限不为零的因子、有理化因子等.

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ex esinx0

例10、求极限lim()

x→0ln(1+sin3x)0ex esinxesinx(ex sinx 1)

[解]原式=lim=lim

x→0ln(1+sin3x)x→0sin3xx sinx1 cosxsinx1=lim=lim=lim=x→0x→0x→06xx363x2

12+cosxx

1]例11、（042）求极限lim3[(

x→0x3

解：x2+cosx

xln2+cosx 2+cosx 3

1~xln 1=e

33

cosx 1cosx 1x3

=xln(1+)~x~

336(1 cosx)[x ln(1+tanx)]

.

x→0sin4x

【分析】利用无穷小量替换及洛必达法则

(1 cosx)[x ln(1+tanx)]

【详解】lim

x→0sin4x

12

x[x ln(1+tanx)]=limx→0x41x ln(1+tanx)

.=lim

2x→0x211+tanx sec2x1tanx tan2x1=lim=lim=

x→0x→04x(1+tanx)4x4例12、（092）求极限lim3）未定式2、1∞型例13、求lim(cosx)

x→0

sin 2

x

2

cosx 1

sin2

2

lim (1+cosx 1)=x→0 法一、原式法一、原式=

=e

法二、原式

=e=e

cosx 1

2x→0sin

2

1cosx 1

lim

=e 2

lim

x→0

lncosxx4

lncosxlimsin2x→02tanx

x→02

=e

lim

=e 2

1

e 1

ln(1+x)

例14、（111）求极限lim

x→0

x

【分析】此极限是“1∞”型,化为指数形式直计算,属基本题型.

考研复习题答案

【详解】

ln(1+x) lim x→0

x

1

e 1

=e

ln(1+x)

1limx→0ex 1

=e

x→0

lim

ln(1+x) x

x(e 1)

=e

ln(1+x) xx→0x2lim

=e=e=e.

【评注】注意用洛必达法则前的化简（如本题的等价无穷小替换）

4）未定式3、其他类型0 ∞,∞ ∞,00,∞0

例15、求极限lim+xlnx

x→0

1 1

lim1+x→02x

x→02(1+x)

lim

1

12

分析：要合理选择转化的类型

x 0

lim+xlnx=lim+ 较困难x→0x→01 0

lnxlnx ∞