三向应力状态简介

三向应力状态简介

§10-4 三向应力状态简介主单元体： 主单元体：六个平面都是主平面

σ2

σ1

σ3若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力 若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力: CL10TU30

三向应力状态简介

首先分析平行于主应力之一(例如 首先分析平行于主应力之一(例如σ3)的 各斜截面上的应力。 各斜截面上的应力。 σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 对斜截面上的应力没有影响。 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。 力圆圆周上各点的坐标。

σ2σ3 σ1 σ3

σ3 σ1 σ1

σ2

σ3

σ2

三向应力状态简介

τ

σ3

σ2

σ1 σ

三向应力状态简介

同理， 的各个斜截面上， 同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。 周上各点的坐标。

σ2σ1

σ3σ1

σ3

σ2

三向应力状态简介

τ

σ3

σ2

σ1 σ

三向应力状态简介

的各个斜截面上， 在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。 的坐标。

σ2

σ3

σ1σ3

σ1 σ2

三向应力状态简介

τ

σ3

σ2

σ1 σ

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这样， 这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力， 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。 圆周上各点的坐标来表示。

τ

σ3

σ2

σ1 σ

三向应力状态简介

至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σ 弹性力学中已证明，其应力 n和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。 影面内某点的坐标来表示。

τ

σ3

σ2

σ1 σ

三向应力状态简介

在三向应力状态情况下： 在三向应力状态情况下：

σ2

σ max = σ 1 σ min = σ 3 σ1 σ3 τ max =2σ1

σ3

τmax 作用在与 2平行且与 1和σ3的方向成 ° 作用在与σ 平行且与σ 的方向成45° 角的平面上， 角的平面上，以τ1,3表示 ，

CL10TU31

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例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 (应力单位为MPa)。 应力单位为 )。

CL10TU32

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解：

30 20 = ± 2 σ3

σ1

52.2 30 + 20 2 MPa + 40 = 2 42.22

σ 2 = 50MPa 50MPa

τ max =

σ1 σ 32

= 47.2MPa

三向应力状态简介

例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 (应力单位为MPa)。 应力单位为 )。 解：σ 1 = 50MPa

σ 2 = 50MPa σ 3 = 50MPa τ max = σ 1 σ 32 = 50MPaCL10TU33

三向应力状态简介

例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 (应力单位为MPa)。 应力单位为 )。

CL10TU34

三向应力状态简介

解：

120 + 40 = ± 2 σ2

σ1

130 120 40 + 30 2 = MPa 2 302

σ 3 = 30MPa 30MPaτ max = σ1 σ32 = 80MPa

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§10-5 广义胡克定律

纵向应变：

ε=

σE

σ

σ

横向应变：

ε ′ = µε = µ

σECL10TU35