一道高考题的各种证法及推广

上海中学数学 2 0 1 2年第 1~2期

一

道高考题的各种证法及推广2 2 4 7 0 0 江苏省建湖高级中学刘友明

纵观辽宁近三年高考理科数学卷最后一题，不难发现，都可以归纳为：形如/ ( ):p l n x +。++c (,, 7 z, c ER )的导数题型，而对导数问题，近三年又惊人的相似，考查了两方面内容： ( 1 )单调性的讨论； ( 2 )通过构造函数来解决问题.由此笔者就 2 0 1 1年考题作一些总结和推广，以不变应万变，也可就此对辽宁 2 0 1 2

厂 ( 1十 1一 )>, (一 o,从而>一， 于是 。=华> .由 ( 1 )知，/。 ( _ z。 )< o .

点评：导数问题一般设置 2~ 3问，前后往往是有关联的，本方法利用 ( 2 )中结论，很快找到解题的突破口.

高考作一些预测与展望 .一

证法二：(构造函数法 )不妨设 A( x , 0 ), B ( X 2 9 0 )且。<<则 X 0=,

、

一

道考题。多种证法

( 2 0 1 1年辽宁)已知函数厂( )一l n r—a i f s +( 2 -a ) x . ( 1 )讨论 _厂 ( )的单调性； ( 2 )设口>

厂( 。 )一 一2 a . z。+2一a=+ 2 )+2一口①.

一n (

o,证明：当0<<吉时， f (音+ )>厂 (音一 z ); ( 3 )若函数Y一， ( z )的图像与轴交于 A, B两点，线段 AB中点的横坐标为，

叫1 n _L x-

:詈， ‘,

证明：厂( i f s。 )<o .分析： ( 1 ) ( 2 )略； ( 3 )证法一： (分析法)由

②一③得 号一 a ( x + 。 )+ a -2④, .‘ .L1

( 1 )知，当x E f、÷口 ,+c x 3 1, 时，厂(。 I z )<o,即证： 。>二.

厂 c 一熹一薹 . .

下面给出证明过程：由( 1 )可得，当口≤0

( X 1 - 厂( 一

一( 1附一

¨

时，函数 3,一， ( )的图像与 z轴至多有一个交

l n x 2 )⑥,

点，故a> 0,从而， ( )的最大值为f (音)且.

~

一

xL

, (音)> o 不妨设A ( x , o ), B ( x z, o ), 0< x <则 0<x <-日--

t< xz

.由 ( 2 )得f (一 )一

一 ∈( o, 1 ),则( 一 z )厂(。 )一 Q( )一

3感悟

相应的变形和函数构造 .其次是注意问题本质的把握 .临界状态时是相切还是相交，取决于什么？教会学生找到问题的脉络所在，在本质上作出判断，问题也就迎刃而解了.

以上两道高考题的解法总的来说是把方程或不等式转化成两个函数之间的关系，再运用数形结合的思想得到结论.在教学中有两个地方要特别注意：首先是函数的构造要合理，原则是通过变形后所构造的函数尽量简单易画.例如第二道高考题中，虽然函数— I z—日I -中含有变量 n,但它是由函数— l l z J的图像左右平

参考文献[ 1 - 1袁竞成直觉必须真实 F J] .数学通报， 2 0 1 0, 8 . [ 2]2 0 1 1年高考：数学试题的解法荟萃 (续)[ J] .中学数学教学参考， 2 0 1 1, 8 .

移而得到的，很好画，正是考虑到这一点才作出

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等< 0 .

≠0 ) ( P,, c ER)对于图像上任意不同的两点 A (, ), B( - T:, 。 ),则函数图像上必存在点 P

。

. .

Q( f )单调递减， .‘ . Q, (￡ )>Q( 1 )一0,又。 .‘

( z o, y o ) ( z 1<z o< 2 ),使得/( o )一是 A B .证明：不妨设 P> 0,易得是 A B— P二I上2 .上1=

I z 1一 2<0, .。 ./( - z 0 )<O . 点评：此法由④式代入①式避开了对 n的讨论，对⑤式的处理又体现了化，。为一2

+,

原问题转化为：即证+<是 A B-上2

元的消元思想，进而对 Q( )加以研究即可 . 证法三：(构造函数法)由法二中⑥式可设^( )一— Z Xl— -

<+ .则<声 坚l n x2 -l n xl<—

<,即<

—

Z X一

T 3 2_ t

_ l

—

一

( 1 】一l n x) ( z>】 ), . . hI ( )一

X 2一 l

Z1

垒<一1.

一

≥ > 0 ^ ( )单调递增 . 。 z>,点评：将z 换成，也体现了消元进而构造

- z1

由此可构造函数 ( z I )一l n x—,易得 h ( ) ≤一1 (当且仅当 一1时取“一” ) .‘ . .

. . . h( 2 )> h( x1 )一 0, . . . ( 1 - X2 ) ( o )一 h( 2 ) >0 .‘ .‘ 1一 2< O, .’ . ( I z 0 )< 0.

原命题得证 .

推论 4:已知函数，( )一p l n x+ m. z ++c ( p≠O ) (, m,, c∈R)对于图像上任意不同

函数的思想 .构造函数来解决函数导数问题，已成了经久不衰的话题 .在高三复习中，应加以重视与总结.

的两点 A( x , Y ), B ( x。, )则函数厂 ( )图像上

不存在点p ( x。, 。 ) f 。一一是 A日 .

1,使得厂( 。 )

二、一道试题。多种推论推论 1:已知函数 .厂 ( )一l n x+iX ++

证明： (仿法二)若/( T I。 )一是 A B,易得志 A B一+,, z (∞+: )+ 7 2一 ( )=2

c ( m, n, c ER),若 -厂 ( )的图像与轴交于 A、 B

两点，且线段 A B中点的横坐标为。,则/( 。 )< 0 .

(证略：可仿证法二) 推论 2:已知函数 -厂 ( _ z )=p l n x++

阜,

2 7 1 1-

+ (+ )+ n, ...

1 n x2一l 1

—0' . . . 1 n垒一垒型一0令垒> o,则可1 l上1 T _上2 I上l

+c ( p,,, c∈R),若， ( )的图像与轴交于 A、 B两点，且线段 AB中点的横坐标为。,则：

转化为 Q( f )一l n t+ .

一2—0有解 .

①当 一0时，/( z。 )一0;②当户>o时，厂( 。 ) <o;③当户<o时，/( 。 )>o .证明：(仿法二)仿法二中⑥式易得 ( 一.’ .

’ Q ( )一轰 _> o, . . Q

( )> Q ( 1 )一 o,

不存在.

/( X o )一

一p i n . _ x L令一 ∈

点评：推论 1, 2, 3都可看作是推论 4的特殊情况，如推论 2是推论 3中当 A、 B为，( - z )与

( o, 1 ), . . (一 )/( 。 )一Q(￡ )一p l ‘ Q ( f )一P‘ 若> o,则Q (￡ )

z轴两交点时的情况，由推论 2,易得/( -, r。 )≠0一

忌 A B.

由此可见，一方面作为高考压轴题，一般它

<o, I . . Q(￡ )单调递减， . . . Q(￡ )>Q( 1 )=0, .。 ./( 。 )<O,其它情况类似可证 .

所涉及的知识面甚广，体现了对学生综合能力的考查，起着拉开生与生之间差距的关键作用； 另一方面也对教者提出了更高的要求，尤其是在高三复习中，要善于串联，归纳和提炼，让学生看穿问题的本质，从而达到融会贯通，以一题而通百题的效果 .

点评：由推论 2可知厂 ( )符号只与 P的符号有关，从而抓住了问题的本质，由此，可对

P, m,, c任取一值，便可得到一个问题 . 推论 3:已知函数， ( z )一p l n x+材+c ( P