7.2梁的弯曲应力

工程造价方向：《建筑力学Ⅰ》

7.3 弯曲正应力一、正应力分布规律1. 几何关系 平面假设：梁的横截面在弯曲后仍保持平面。 中性层 中性轴z z 曲率半径

y 2013-12-26 1

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距离中性轴(层)任意 y 处线应变 原始长度l ab dx o1o2弧长

d

变形后长度l1 a1b1弧长 ( y)d

正应变 l l1 l l l2013-12-26

( y )d ρd d

y

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2. 物理关系 胡克定律 E Ey

受弯梁横截面上某点的正应力，与该点到中性 轴的距离成正比。即分布规律为线性分布，最 大应力发生在截面的上下边缘。 问题： 1. 中性轴z 的位 置在哪里？ 2.曲率半径 =? max3

z x y

y

2013-12-26

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3. 静力关系 截面上的应力合成，结果应为内力。轴力 为零，对z轴取矩之和为弯矩M。N dA

Ey

dA

E

ydA

ES z

E

Ayc 0

yc 0 中性轴z通过 截面形心。z

My dA y

x

z y dA y

2013-12-26

工程造价方向：《建筑力学Ⅰ》

M y dA

Ey

ydA

1

E

y dA 2

EI z

M EI z

弯曲刚度(抗弯刚度)

曲率与弯曲刚度成反比，与弯矩成正比。

弯曲正应力z

My dA y

x

zy dA y

My Iz

Ey

2013-12-26

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例7.11 单项选择 图示矩形截面悬臂梁，A、B两点的正应 力关系为( )A. A 3 B B. A 6 B C. A 2 B D. A 4 Ba A

PB

a

b

解：

2013-12-26

A M A y A ( 2 Pa)( h / 2) 4 B M B yB ( Pa)( h / 4) A 4 B 答案：D

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课堂练习 P258习题一

2013-12-26

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二、正应力强度条件1. 危险位置 危险截面(控制截面):Mmax 危险点(线): ymax ycmax , ytmax

2. 强度条件 (1) 不区分拉压应力时 maxM max ymax M max M max f Iz I z / ymax Wz M max [ ] Wz

或2013-12-26

max

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截面抗弯系数(截面抵抗矩)WzIz Wz ymax

矩形截面bh3 / 12 bh2 Wz h/2 6

实心圆截面Wz

D 4 / 64D/2

D 332

空心圆截面Wz 2013-12-26

D 4 (1 4 ) / 64D/2

D 332

(1 4 )9

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(2) 区分拉压应力时 t maxM max yt max M max ft Iz Wzt M max yc max M max fc Iz Wzc

c max

强度计算采用 用绝对值，指 明拉压即可。

Wzt

Iz yt max

,

Wzc

Iz yc max M max [ c ] Wzc

或

t max

M max [ t ], Wzt

c max

强度条件仍然可以进行三类计算：截面设计 许可荷载 强度校核 2013-12-26

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例7.12 截面设计矩形截面简支木梁，跨度4m,受均布荷载 5 kN/m作用，木材f=10 MPa,若截面高宽 比为1.5,试确定截面尺寸。

解：跨中截面为危险截面M max 1 2 1 ql 5 42 10 kN.m 8 8M max f Wz

强度条件定截面尺寸 max2013-12-26

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M max 10 10 6 Wz 1 10 6 f 10

mm3

1 2 1 3 Wz bh b b 3 b 3 6 6 2 88Wz 8 1 10 6 b 3 3 138 .7 mm 3 3

2

可取b 1402013-12-26

mm

h 1.5b 1.5 140 210 mm12

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例7.13 强度校核梁的荷载和截面尺寸如图所示，已知材料 [ t]=30MPa, [ c]=60MPa,截面惯性矩 Iz=763.7 cm4,校核强度。

解：(1)弯矩图M B 2.5 kN.m 下部受拉A

9 kNB1m 1m

4 kNC1m

D

z

4 kN.m

MC 42013-12-26

kN.m 上部受拉A B

C

D

2.5 kN.m

13

88 52

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C A B 2.5 kN.m

D

z

B截面强度 t max c max

2.5 10 6 88 28.8 MPa <[ t]=30 MPa 4 763 .7 10 2.5 10 6 52 17.0 MPa <[ c]=60 MPa 4 763 .7 10 4 10 6 52 27.2 MPa <[ t]=30 MPa 4 763 .7 10 4 10 6 88 40.1 MPa <[ c]=60 MPa 4 763 .7 10

C截面强度 t max c max2013-12-26

满足 强度 条件14

88 52

max

M max ymax Iz

4 kN.m

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三、梁的合理截面1. 截面合理性的概念

正应分布 大量材料浪费 在低应力区域 浪费更少 浪费减少

中性轴附近的低应力区应该尽量少用材料2013-12-26

尽可能多的材料置于高应力 区，或者截面的上下边缘

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2. 截面合理性的定量参数 截面面积不变，抗弯系数Wz尽可能大。 基本思路：中性层附近少用材料 工字形，箱形，槽形，T形 比较参数：单位面积抵抗系数Wz /A

3. 常见截面的定量值直径为的h圆截面 高为的h矩形截面 高为的h槽形、工 字形截面2013-12-26

Wz / A 0.125 h Wz / A 0.167 h Wz / A (0.27 ~ 0.31)h16