1993年全国初中数学联赛试题

1993年全国初中数学联赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12 x6 1除以x2 1的余式是

(A)1; (B)-1; (C)x 1; (D)x 1;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x是实数,y x x .下列四个结论:

Ⅰ.y没有最小值;

Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

x1 x2 x3 a1; x x x a;2342 x3 x4 x5 a3;

x x x a;514 4

x5 x1 x2 a5.

其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1 a2 a3 a4 a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是

(A)x1 x2 x3 x4 x5; (B)x4 x2 x1 x3 x5;

(C)x3 x1 x4 x2 x5; (D)x5 x3 x1 x4 x2.

5.不等式x 1 (x 1)2 3x 7的整数解的个解

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5

6.在 ABC中, A是钝角,O是垂心,AO BC,

则cos( OBC OCB)的值是 (A) 22 (B) 22

(C)13 (D) . 22

答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为

m, n, p,那么m:n:p等于 111(A)::; (B)a:b:c abc

(C)cosA:cosB:cosC (D)sinA:sinB:sinC.

答( ) 8.(421 1 )可以化简成 999

(A)3(2 1); (B)(2 1) (C)2 1 (D)2 1

答( )

二.填空题

3x2 6x 51.当x变化时,分式2的最小值是___________.

2x x 1

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2 1)(x2 4) k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中, A 30 .以BC边为直径作圆,与AB, AC

分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形

BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S ABC S HBC的值变小,变大,还是不变?

证明你的结论.

二. ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将 ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

,x2 ,且三.已知方程x2 bx c 0及x2 cx b 0分别各有两个整数根x1,x2及x1

x2 0. x1x2 0,x1

0,x2 0; (1)求证:x1 0,x2 0,x1

(2)求证:b 1≤c≤b 1;

(3)求b,c所有可能的值.