新初三入学测试

三道题详解

九年级入学测试

1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， B 90 ， C 45 ，AD 1，BC 4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．

AEB

F

C

AEB

图2

图1

B

【考点】梯形的相关计算，中点及中心对称类全等问题 【关键词】2009年，北京中考

【解析】解法一：如图1，过点D作DG BC于点G．

∵AD∥BC， B 90 ，∴ A 90 ．

可得四边形ABGD为矩形．∴BG AD 1，AB DG． ∵BC 4，∴GC 3．

∵ DGC 90 ， C 45 ，∴ CDG 45 ． ∴DG GC 3．∴AB 3．

13

又∵E为AB中点，∴BE AB ．

22

∵EF∥DC，在 BEF中， B 90 ，

BE∴EF

sin45 解法二：如图2，延长FE交DA的延长线于点G． ∵AD∥BC，EF∥DC，∴四边形GFCD为平行四边形， G 1．∴GD FC． ∵EA EB， 2 3，∴ GAE≌ FBE．∴AG BF． ∵AD 1，BC 4，

设AG x，则BF x，CF 4 x，GD x 1．

3

∴x 1 4 x．解得x ．

2

∵ C 45 ，∴ 1 45 ． 在 BEF中， B 90 ，

BF∴EF

cos45

2、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且 ACE是等边三角形．

⑴求证：四边形ABCD是菱形； ⑵若 AED 2 EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

E

A

B

C

【考点】正方形的性质及判定，菱形的性质和判定

三道题详解

【关键词】2008年，上海中考 【解析】省略 【答案】⑴ ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO CO．

又∵ ACE是等边三角形，∴EO AC，即DB AC． ∴平行四边形ABCD是菱形． ⑵ ∵ ACE是等边三角形，∴ AEC 60 ．

1

∵EO AC，∴ AEO AEC 30 ．

2

∵ AED 2 EAD，∴ EAD 15 ．∴ ADO EAD AED 45 ． 四边形ABCD是菱形，∴ ADC 2 ADO 90

∴四边形ABCD是正方形．

3、根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：

1511

已知2m2 5m 1 0，2 2 0且m n，求 的值．

nmnn

【考点】一元二次方程的根系关系 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】

5115

【解析】由2m2 5m 1 0可知，m 0，故2 2 0，即2 2 0

mmmm

1511

又2 2 0，m n，故、是方程x2 5x 2 0的两根

nnmn

11

由根系关系可知， 5．

mn

【答案】-5