高一数学解三角形知识点总结及习题练习

本人精心归纳总结结果

解三角形

一、基础知识梳理 a

sinAsinBsinC

b2R

c2R

=

b

=

c

=2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以

下变形：

a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinCsinA

a2RbsinB,sinB

,sinC

a:b:c sinA:sinB:sinCa

sinA

csinC

a b csinA sinB sinC

最常用三角形面积公式：S

ABC

12

ah

a

12

absinC

12

acsinB

12

bcsinA

1．两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解）

2 了解：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

3．余弦定理 ：a

2

b c 2bccosA cosA

2

2

22

b c a

2

2

222

2

b c a 2accosBc a b 2abcosC

4．余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）

2

2

2

2

cosB cosC

2bc

c a b2caa b c

2

2

2

2ab

（2：

（3

可能不唯一）

本人精心归纳总结结果

2[课前热身]

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于( ) A．135° B．90° C．45° D．30° 2．在△ABC中，a2 b2 c2 bc，则A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( ) A.

4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________. 5．

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝6，则△ABC的形状是________． 3[考点突破]

315 B. C. D.4248

考点一 正弦定理的应用

利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、(1)(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a

＝2，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________． (2)满足A＝45°，a＝2，c＝6的△ABC的个数为________．

考点二 余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的． π

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3

(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值； (2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三 三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

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例3、(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究

1 若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟: 方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

abc

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°＝＝，可求出角C，再求出b，

sinAsinBsinC

c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝b的对角B，由C

sinAsinBacab

＝π－(A＋B)，求出C，再由，求出c，而通过B

时，可能出现一解，

sinAsinCsinAsinB两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝

B＋CA

sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cossin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)

22

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等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．

五、规范解答

(本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝53

，cos∠ADC＝AD的长． 135

3π

【解】 由cos∠ADC＝>0知∠B，

52

124

由已知得cosBsin∠ADC＝4分

135

从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB 4123533

＝×＝分 51351365

ADBD

由正弦定理得，

sinBsin∠BAD33，sinB＝

BD·sinB

所以AD33sin∠BAD

65

33×

513

＝25.12分

【名师点评】 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题． 名师预测

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )

222A．－ B.

33C 3

D. 3

a2＋b2－c2

2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝那么角C＝________.

4

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0. (1)求角A的大小；

3ABC的形状，并说明理由． 4

解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由正弦定理得，

(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0， ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0， 即sinB(2cosA－1)＝0. ∵0<B<π，

1

∴sinB≠0，∴cosA.

2(2)若a＝，S△ABC＝

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π

∵0<A<π，∴A＝3

法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由余弦定理得，

b2＋c2－a2a2＋b2－c2

(2b－ca0，

2bc2ab

整理得b2＋c2－a2＝bc，

222

b＋c－a1

∴cosA＝.

2bc2

π

∵0<A<π，∴A＝313(2)∵S△ABC＝sinA＝，

24π3即bcsin＝

32

∴bc＝3，① 22∵a＝b＋c2－2bccosA， ∴b2＋c2＝6，② 由①②得b＝c＝，

∴△ABC为等边三角形．

课后作业

1 在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA sinB,则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

2 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A. 90 B. 120 C. 135 …… 此处隐藏：1801字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……