电磁场数值计算之7-西安交通大学电气工程学院

电磁场数值计算

第七章 有限差分法

差分法是运用最早的一种数值计算方法。因为它的简便、直观、易编程等优点而一直被广泛应用，它可以求解均匀或不均匀、线性或非线性媒质中的位场，可以求解恒定场或似稳场。也可以用于瞬态场中的时间差分。 §7－1 差分运算的基本概念 7.1.1 一阶差分与差商

设函数f x ，自变量x有一微小增量 x h，则f x 的相应增量是

f x f x h f x (7-1)

f x f x h f x (7-2) xh

式(7-1)称为f x 的一阶差分，它与微分不同，由于是有限量的差，故又称为有限差分。式(7-2)称为f x 的一阶差商，或有限差商。

f x f x h f x —向前差分 f x f x f x h —向后差分

f x f x h f x h —中心差分

相应的有

ff x h f x 一阶向前差商 (7-3) xh

ff x f x h 一阶向后差商 (7-4) xh ff x h f x h 一阶中心差商 (7-5) x2h

只要h足够小，那么，差商和导数、差分与微分之间的差异将很小，它们之间的关系为

df lim f x 一阶微分 (7-6)

x 0

f

df f

lim 一阶导数 (7-7) dx x 0 x

哪一种差商误差最小呢？通过泰勒公式，函数f x h 及f x h 在x点展开级数，便可以得知：

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df x 12d2f x h (7-8) f x h f x h2dx2!dx

df x 12d2f x f x h f x h h (7-9) 2dx2!dx

可见，式(7-5)和(7-6)都截断于h

df x 项，略去h2项以及h的更高幂次的项。而dx

将式(7-8)－式(7-9)，得到一阶中心差分式(7-7)是

df x 23d3f x h （7-10） f x h f x h 2hdx3!dx3

截断于2h

df x 项，略去h3项以及h的更高幂次的项。因此，中心差商的截断

dx

误差最小，具有二阶的精确度。 7.1.2 二阶差分与差商

二阶导数可以从式(7-8)+(7-9)得到，即

d2f x 24d4f x f x h f x h 2f x h h

4!dx2dx4

2

d2f x 截断于h项，略去h4项以及h的更高幂次的项，得到 2

dx

2

fx hx,y,z f x hx,y,z 2f x,y,z d2f

（7-11） 22

dxhx

也可以写成

d2f f x hx f x hx 2f

222

dxhx x

同理可以得到

f x,y hy,z f x,y hy,z 2f x,y,z d2f

2 （7-12） 2

dyhy

f x,y,z hz f x,y,z hz 2f x,y,z d2f

（7-13） 22

dzhz

可以看出，这是中心差商，具有较高的精度。

将二阶导数的近似表达式代入泊松方程、波动方程等，就将原微分方程转化为代数方程。

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7.1.3 离散单元 离散单元的形状多为

图7－1 差分法离散单元形状

§7－2 泊松方程的差分形式 7.2.1 建立差分格式 1、平行平面场

2 2

泊松方程 2 2 f x,y (7-14)

x y

j+1

(i-1,ji

j+1)

jj-1

(ij)j-1)i+1

(i-1,i-1

图7-2 五点差分格式

如图7-2所示，按中心差分格式可以导出（设h1 h3 hx , h2 h4 hy）

x

x x0

1 3

2hx

2 ,2

x

x x0

1 2 0 3

h

2x

y

y y0

2 4

2hy

2 ,2

y

y y0

2 2 0 4

2hy

代入泊松方程，得到

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1 2 0 3

h

2x

2 2 0 4

h

2y

f x0,y0

用节点坐标写出“五点差分格式”

fij

若hx hy h

11 i,j 1 2 ij i,j 1 (7-15) 2 i 1,jiji 1,j22hxhy

i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1 4 ij h2fij (7-16)

2、轴对称场

2 1 2

泊松方程 2 f ,z (7-17)

z2

设hr hz h，令轴线处j 1开始，任一点o i,j 的半径为 0 j 1 h，

当j 1，差分格式为（作业7-1：推导轴对称场差分格式）

1 1

4 0 2 4 1 1 3 (7-18) 1

2j 1 2j 1

当j 1，o i,j 点落在 0 0（z轴）上，这时方程（7-17）中 等于零，出现第二项为无限大的现 象，为保证方程每一项有限，必须满足

0

0

0

由洛必塔法则得知

1 2 limlim

0 0型 0 ' 2 0

对称线

因此，当j 1时，对称轴上的微分方程为

2

2

22 2 0 z

相应的差分格式为 图7-3 轴对称差分格式

6 0 2 1 2 4 (7-19)

7.2.2 媒质分界面边界条件的离散格式

分界面上面电荷为零，因此有 D E 0 应用高斯散度定理

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ds edl S

L

n

L1 L2 L3 L4

endl 0

en是S面的外法线方向，即垂直于每一周边l向外的单位矢量，展开后

0 1

edl h 1 0 1 n1 L

1

h

h 0 2h 0 2 edl n21 L

2h2h

2

1 2

2

0 2

0 3

edl h 2 0 3 n2 L

3

h

h 0 4h 0 4 1 2

0 4

edl n12 L4

2h2h2

图7-4 媒质分界面差分格式 代入高斯散度定理，得到

1 2

2

0 1 1 2 3

1

4

1 2

2

2

1 2

2

4 (7-20)

结点2、4位于分界面上，可以理解为在分界面上取等效介电常数 上式可以写为（K 21）

1 2

2

。

0

1 22K

1 3 2 4

4 1 K1 K

同理，可以分析介质角点处图7-5的差分格式

1 3 2

4

0 2 1 2 4

1

1 2

2

3 4 (7-21)

以及分界面对于网格呈对角线形态，这时需要引入两个辅助点，如图7-6所示，可以推得

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