2011中考数学冲刺专题10 几何计算问题 人教新课标版

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2011中考冲刺数学专题10——几何计算问题

【备考点睛】

几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数，、求图形的面积等。研究几何图

形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：

一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相

关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；

二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形

的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；

三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来

解决。

几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中图

形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。

【经典例题】

类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算

例题1 如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，AC BC 1。将 ABC绕点C逆时针旋转30°得到 A1B1C1， CB1与AB相交于点D。求BD的长。

解答：分析：注意到 B 45 ,若作DG CB于点G，如图（1`）则

可得Rt DBG中，DG=BG，同时在Rt CDG中， DCG 30 ，

而CB=1，从而可构造关于BD的方程，求得其值。

解：如图（2），作DG CB于点G，设BD=x，

Rt DGB中， B 45 , DG BG 22BD x 22

在Rt DCG中， DCG B1CB 30 ， 26x x。 22

2 2 CG BG CB 1,即x x 1,解得x 。 222 CG DG

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BD的长为6 2。 2

CD2 ,求sin CAF的值。 AE5例题2 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若AF CE于点F，且AF平分 DAE,

B E

解答：首先，在Rt ACF中，sin CAF CF, AC

剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。

为此，去研究相应的条件：

①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；

②由AF CE知AF BD 且AF平分 BAD,得 ABD是等腰三角形，

11BD AC 22

③由BG//EC，知 ABG∽ AEF,

BGABAE BEAE CD23 1 , EFAEAEAE55

5515 EF BG (AC) AC. 3326

51如此一来，CF EC EF AC AC AF, 66

1ACCF61当然就有sin CAF 。 ACAC6设AF交BD于点G，则BG

例题3 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中 ACB DEC 90 ， A 45 , D 30 ，斜边AB 6cm,DC 7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到 D'CE'如图（2）， 这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F。

（1）求 OFE'的度数；

（2）求线段AD'的长；

（3）若把三角形D'CE'绕着点C顺时针再旋转30°得到 D''CE''，这时点B在 D''CE''的内部，外部，还是边上？证明你的判断。

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解答：分析：对于（1），如图（3），设CB与D'E'相交于点G，则可通过 OFE'与 FGB, CGE'内角的关系，求得 OFE'的值；

对于（2），可先推出 AOD' 90 ，并导出OA,OD'的长；

对于（3），设直线CB交D''E''于B'，应在Rt B'CE''中计算出CB'的长，为此为基础进行判断。

解：（1）设CB与D'E'相交于点G，如图（3），则：

OFE' B FGB B CGE'

B 180 BCE' E'

A

45 180 15 90 120 。

（2）连结AD'， AOD' OD'F OFD'

D' OD'F 180 OFE' 30 180 120 90

又 AC BC,AB 6cm,而 ACO 30 15 45 ，

OA OB OC 3cm。

在Rt AOD'中，AO 3，OD' CD' CO 7 3 4 cm （3） E'

AD' 32 42 5 cm 。

（3）点B在 D''CE''内部，理由如下：

设BC（或延长线）交D''E''于点B'， B'CE'' 15 30 45 ,

在Rt B'CE''中，CB'

又 CB 32 cm 2CE'' 72 cm ， 272 cm ，即CB CB', 点B在 D''CE''内部。 2

例题4 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）

1 sin

1B、 cos

C、sin

D、cos A、

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解答： 分析：将原问题抽象为图（2），在菱形ABCD中， A ，顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1，求菱形ABCD的面积。

为此，作AH CD,交CD的延长线于点H，则有

S菱形ABCD CD AH AD AH，其中

AH 1，AD

解：应选A。

类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算

例题5 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP 5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，

则EQ：EF的值是（ ）

A、5:8 B、5:13

C、5:16 D、3:8

C AH11 ,即S菱形ABCD sin ADHsin sin P

E （1） B

,得解答：分析：容易看出Rt BEQ∽Rt

BPA

155BP。 即EQ BP 2816EQAP , BQABC

而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置，

由Rt CGB Rt BPA,有EF CG BP， P EQ:EF 5BP:BP 5:16 16解：选C。

说明：在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段EQ，EF借助BP表示出来，从而算出这两条线段的比。

例题6 已知，三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。

解答：分析：可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长， E G B

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这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。

解：如图， Rt BCM∽Rt BEN∽Rt BHI CMENIH51 BCBEBH102

1 CM 2 1。 2

15 EN 5 22则A

E S阴影 S梯形MNFG 1515 3 3 3 1 22 4C

H

说明：正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM，EN，从而线段GM，FN的计算得以落实。

例题7 某装修公司要在如图所示的五角星图形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若

BC 1米，则共需要装闪光灯（ ）

A、 100盏

B、 101盏

C、 102盏

D、 103盏

解答：分析：研究 ABC，由BC

5 1 计算出AB的长来，

如图在 ABC中，AB AC, B C（正五边形的外角）=72°， A 36 ,

作 CBD A,交AC于点D，则AD=BD=BC，

又 BCD∽ ABC，得：DCBC ， BCABBC2

AB AC AD DC BC AB

AB2AB) 1 0 即AB BC AB BC 0，也既(BCBC22B C 解得 1AB 1 (5 1) 2。 。 AB 2BC2

2 10 100 0.2灯的盏数应为

解：选A。

说明：在本题，关键是根据特定条件，构造出 BCD∽ ABC。

例题8 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，OE BC于点E，连结ED，交OC于点F，作FG BC于点G。

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