系统辨识与自适应控制课件

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《系统辨识与自适应控制》第3讲要点

第3章 系统（过程）的数学描述

3.1 线性系统（过程）的基本概念 ● 系统的分类

线性与非线性、分布参数与集总参数等； 描述方式：连续时间系统、离散时间系统；

研究方法：输入输出模型（外特性）、状态空间模型（内部特性）； ● 任意系统的输入输出关系可以表示为

y(t)=L{u(t)}

其中u(t)代表输入，y(t)代表输出，L是一个算子。

● 如果算子L是线性的，则称该系统为线性系统；满足下列条件的算子称为线性算子：

（1）L(αu(t))=αL(u(t))，α是任意常数 （2）L(u1(t)+u2(t))=L(u1(t))+L(u2(t))

● 如果输出y(t)在t时的值只决定于在t时的输入u(t)的值，则称该系统是瞬时系统；不是瞬时的系统称为动态系统。

● 一个系统在t时的输出完全由闭区间[t T,t]内的输入值所决定，其中T>0，则称该系统为记忆时间为T的记忆系统。

● 在t时的输出y(t)值仅与过去（包括现在的）输入值有关，而和将来的输入值无关的系统称为可实现的系统，或称为具有因果性的系统。 ● 一个动态系统如果它的输入、输出是连续时间函数，而且可以用一

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组常微分方程来描述，则称该系统为集中参数、连续时间动态系统。如果输入、输出是离散时间函数，而且可以用一组差分方程来描述该系统，则称该系统为集中参数、离散时间的动态系统。

任何线性、集中参数的动态系统均可以表示成卷积形式：

y(t)=∫h(t,τ)u(τ)dτ

∞∞

其中h(t,τ)=L(δ(t τ))。

对于具有因果性的动态系统，有h(t,τ)=0(τ>t)，因此输入输出关系可以写成为：

y(t)=∫h(t,τ)u(τ)dτ

∞t

● 一个系统它的输入在时间轴上有一个平移，输出也有同样的平移，即：y(t τ)=L{u(t τ)}，则称该系统为时不变系统，对于时不变系统有，L{δ(t τ)}=h(t τ)。因此，对于线性、时不变、具有因果性的动态系统，有：

y(t)=∫h(t τ)u(τ)dτ=∫h(t τ)u(τ)dτ

∞

∞

t

∞

本课程主要讨论的是线性、定常、时不变、具有因果性（可实现）的动态系统。

3.2 连续过程的输入输出模型 ● 微分方程：

dy(t)dn－1y(t)dny(t)

L＋a+any(t)a1n 1

dtdtn－1dtn

n 1

du(t)du(t)=b1+L+b+bnu(t)n 1

dtdtn 1

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● 传递函数：

b1sn 1++bn 1s+bnY(s)

G(s)==

U(s)sn+a1sn 1+L+an 1s+an

● 具有纯迟延的动态系统的传递函数为：G(s)=e τs，其中τ为迟延时间，是待辨识的系统模型结构参数。

● 由传递函数可以确定单位脉冲响应、单位阶跃响应、频率响应，这些响应可以由实验测定，以曲线的形式表示，称为非参数模型。

3.3 离散过程的输入输出模型 ● 差分方程：

y(k)＋a1y(k 1)＋L＋an 1y(k n+1)+any(k n)

=b1u(k 1)+L+bn 1u(k n+1)+bnu(k n)

● 脉冲传递函数：

b1z 1+b2z 2++bn 1z n+1+bnz n

G(z)=

1+a1z 1+L+an 1z n+1+anz n

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● s与z之间的关系：z=eT0s，z 1为迟延算子。 ● 连续模型进行离散化时的基本假定：

u(t)=u(kT0)(kT0≤t<(k+1)T0)

3.4 状态空间模型

● 基本概念

状态：动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的数据来说明。

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状态变量：系统的状态变量就是指足以完全确定系统运动状态的最小一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，求得这n个独立变量的时间响应，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。

设x1(t)、x2(t)、…，xn(t)为系统的一组状态变量，则它应该满足下列两个条件：

1、在任何时刻t=t0，这组变量的值x1(t0)、x2(t0)、…，xn(t0)都表示系统在该时刻的状态；

2、当系统在t≧t0的输入和上述初始状态确定以后，状态变量便能完全确定系统在任何t≧t0时刻的行为。

同一个系统，究竟选取那些变量作为状态变量，这不是唯一的，要紧的是这些状态变量是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数。因为微分方程的阶数是唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此，状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。

还应该指出，状态变量不一定是物理上可测量或可观测的量，但通常总是选择易于测量或观测的量作为状态变量，因为当系统实现最佳控制规律时，需要反馈所有的状态变量。

状态向量：如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量x1(t)、

x2(t)、…，xn(t)，那么这n个状态变量作分量所构成的向量x(t)就叫做

该系统的状态向量，记作

x1(t)

()xt

(t)= 2 或 (t)=[x1(t),x2(t)Lxn(t)]T

M ()xt n

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状态空间：以状态变量x1、x2、…，xn为坐标所构成的n维空间称为状态空间。任何状态，都可以用状态空间中的一个点来表示。即在特定时刻

t，状态向量X(t)在状态空间中是一点。已知初始时刻t0的X(t0)，就得到

状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。显然，这一轨线的形状，完全由系统在t0时刻的初始状态和t≧t0的输入以及系统的动态特性唯一决定的。状态向量的状态空间表示则将向量的代数结构和几何概念联系了起来。

状态方程：描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。

输出方程：描述系统的状态变量与输出变量关系的一组代数方程称为输出方程。

一般地，对于单输入--单输出（SISO）系统，状态方程具有如下形式:

&1(t)=a11x1(t)+a12x2(t)+L+a1nxn(t)+b1u(t) x

x

&2(t)=a21x1(t)+a22x2(t)+L+a2nxn(t)+b2u(t)

LLLLLLLL &n(t)=an1x1(t)+an2x2(t)+L+annxn(t)+bnu(t) x

输出方程有如下形式：

y(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+Lcnxn(t)

用向量矩阵表示的状态空间表达式则为：

(t)=AX(t)+bu(t) X

（A） T

y(t)=cX(t)

式中

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x1(t) x(t) (t)= 2

M xn(t)

表示n维状态向量，矩阵

a11 aA= 21

L an1

a12a22Lan2

La1n La2n LL

Lann

表示系统内部状态之间的联系，称为状态矩阵（或称系统矩阵，系数矩阵），是n×n方阵;向量

b1

b b= 2

M bn

表示输入对状态的作用，称为输入矩阵（或控制矩阵），它为n×1的列阵；向量

c=[c1,c2,L,cn]

T

表示输出与状态的关系，称为输出矩阵，它为1×n的行向量。

可以证明，对应状态空间模型（A）的传递函数为：

G(s)=c(sI A) 1b

● 连续型状态空间模型 考察模型：

(t)=AX(t)+bu(t) X

（A） T

y(t)=cX(t)

T

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