7.2 估计量得评选标准

第七章

§7.2 估计量的评选标准一、无偏性 二、有效性

三、一致性

当我们用不同的方法对同一个分布参数进行 估计时，得到的估计量可能不同。当一个未知参数 有多个未知量时，如何选用呢？评价一个估计量的 优劣不能仅由一个观测值来确定。希望估计量与待 估计参数在某种统计意义下非常接近，主要包括三 个标准：① 无偏性 ② 有效性 ③ 一致性。

1. 无偏性估计量是r.v.,样本值不同，估计值也会不同， 希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望 值恰等于未知参数的真值。 ( X , X , , X ) 是未知参数θ的估计量，若 定义1 设 1 2 n ) , 则称 为θ的无偏估计。 E(

意义: 用 估计θ没有系统偏差。

例1 设总体X的期望、方差均存在，且 EX , DX 2 ,

X 1 , X 2 , , X n为X 的样本，求证：① 1 X , 2 k X k , 其中 k 1 均是 的k 1 k 1 n n

无偏估计；n 1 2 2 1 S 2 ( X X ) ② 是 的无偏估计， k n 1 k 1 n 1 2 2 而 不是 2 的无偏估计， (Xk X ) 2 n k 1

证明：① E( 1 ) E( X )

2 ) E ( k X k ) k ( EX k ) k E ( k 1 k 1 k 1n 1 2 2 2 ② E ( 1 ) E ( S ) E ( X i nX ) n 1 i 1 n 1 2 2 ( EX i nEX ) n 1 i 1

n

n

n

2 1 n 2 DX EX n DX EX i i n 1 i 1

2 1 n 2 2 2 n n 1 i 1 n

2 1 2 2 2 2 n n n n 1 n

n 1 2 n 1 2 ) E[ E ( S ] n n2 2

在多个无偏估计量中如何选取最好的呢？

2. 有效性 (X , X , 定义2 若 1 1 2 1更有效。 例2 课本P160 例7

(X , X , , X n ), 2 1 2 2

, X n ),

), 则称 比 ) D( 都是θ的无偏估计量，若 D( 1 1 2 2

3. 一致性课本P161