导数应用练习题答案(10)

sx

导数应用练习题答案

1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 。

(1)f(x) 2x2 x 3[ 1,1.5]； (2)f(x)

11 x2

2

[ 2,2]；

(3)f(x) 解：(1)f(x) 2x2 x 3

[0,3]； (4)f(x) ex 1

[ 1,1.5]

[ 1,1]

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) 4x 1，在开区间上可导，而且f( 1) 0，f(1.5) 0，满足罗尔定理，至少有一点 ( 1,1.5)， 使f ( ) 4 1 0，解出 解：(2)f(x)

1。 4

11 x2

[ 2,2]

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) 满足罗尔定理，至少有一点 ( 2,2)， 使f ( )

11 2x

f( 2) f(2) ，在开区间上可导，而且，，

55(1 x2)2

2

0，解出 0。

(1 2)2

解：(3)f(x) [0,3]

，在开区间上可导，而且f(0) 0，

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) f(3) 0，满足罗尔定理，至少有一点 (0,3)，

使f ( ) 0，解出 2。

[ 1,1]

2

解：(4)f(x) ex 1

2

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) 2xex，在开区间上可导，而且f( 1) e 1，f(1) e 1，满足罗尔定理，至少有一点 ，使f ( ) 2 e 0，解出 0。

2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 。

2

(1)f(x) x3

[0,a](a 0)； (2)f(x) lnx

[ 1,0]

[1,2]

；

(3)f(x) x3 5x2 x 2

解：(1)f(x) x

3

[0,a](a 0)

sx

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) 3x2，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点 (0,a)，使f(a) f(0) f ( )(a 0)，即a3 0 3 2(a

0)，解出 解：(2)f(x) lnx

。 [1,2]

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x)

1

，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有x

一点 (1,2)，使f(2) f(1) f ( )(2 1)，即ln2 ln1

1

(2 1)，解出

1

。 ln2

解：(3)f(x) x3 5x2 x 2

[ 1,0]

该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) 3x2 10x 1，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点 ( 1,0)，使f(0) f( 1) f ( )(0 1)， 即 2 ( 9) (3 2 10 1)(0

1)，解出

5。 3

3.不求导数，判断函数f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的导数有几个实根及根所在的范围。 答案：有三个根，分别在(1,2),(2,3),(3,4)

4证明：当x 1时，恒等式2arctanx arcsin证：设F(x) 2arctanx arcsin

2x

成立 1 x2

2x

1 x2

当x 1时，F(x)连续，当x 1时，F(x)可导

2

且F (x) 2

1 x

2(1 x2) 2x 2x22

0 2222

(1 x)1 x1 x即当x 1时，F(x) C，即F(x) F(1) 2 故当x 1时，2arctanx arcsin

4

2

2x

1 x2

5设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0，证明在(0,1)内存在一点c， 使 cf (c) 2f(c) f (c)．

证明：令F(x) (x 1)2f(x)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因f(0) 0，则F(0) 0 F(1) 即F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在c (0,1)使F (c) 0 又F (x) 2(x 1)f(x) (x 1)f (x)，即2(c 1)f(c) (c 1)f (c) 0 而c (0,1)，得cf (c) 2f(c) f (c)

2

2

sx

6.已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 1,f(1) 0，证明在(0,1)内至少存在一点 ，使得f ( )

f( )

证明：令F(x) xf(x)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(0) 0 F(1)

即F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在 (0,1)使F ( ) 0 又F (x) f(x) xf (x)，即f( ) f ( ) 0，故f ( ) 7.证明不等式：sinx2 sinx1 x2 x1

证明：设函数f(x) sinx，， x1,x2 R，不妨设x1 x2，

该函数在区间[x1,x2]上连续，在(x1,x2)上可导，由拉格朗日中值定理有

f( )

．

f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1)，(x1 x2)即sinx2 sinx1 cos (x2 x1)，

故sinx2 sinx1 cos (x2 x1)，由于cos 1，所以有sinx2 sinx1 x2 x1

8.证明不等式：nbn 1(a b) an bn nan 1(a b)(n 1,a b 0)

证明：设函数f(x) xn，在[b,a]上连续，在(b,a)内可导，满足拉格朗日定理条件，故

an bn n n 1(a b)，其中0 b a，因此bn 1 n 1 an 1

有nb

n 1

(a b) n n 1(a b) nan 1(a b) (a b) an bn nan 1(a b)

所以nb

n 1

9.利用洛必达法则求下列极限：

ex e x(1)lim； x 0x

ex e xex+e x

lim 2 解：lim

x 0x 0x1(2)lim

x 1

lnx

； x 1

1

lnx

解：lim lim 1

x 1x 1x 11

x3 3x2 2(3)lim3；

x 1x x2 x 1

sx

x3 3x2 23x2 6x

lim2 解：lim3

x 1x x2 x 1x 13x 2x 1

ln(x )

； (4)lim

tanxx

2

1

ln(x )x

cos2x2cosx ( sinx) lim lim lim 0 解：lim

1 tanx1x x x x

222x 22

cosx2xn

(5)limax

x e

(a 0,n为正整数）

xnnxn 1n!

lim 0 解：limax lim

x ex a eaxx an eax

m

(6)limxlnx(m 0)；

x 0

1

lnxxmm解：limxlnx lim lim lim 0 m m 1

x 0 x 0 xx 0 mxx 0 m11

(7)lim( x)；

x 0xe 1

11ex 1 xex 1ex11解：lim( x ) lim lim lim lim xxxxxxx 0xx 0x 0x 0x 0e 1x(e 1)e 1 xee e xe2 x2

(8)lim(1 sinx)；

x 0

1

x

解：lim(1 sinx) lim(1 sinx)

x 0

x 0

sinx

(9)limx；

x 0

1

x1sinx sinxx

e

x解：lim

x 0

sinx

e

x 0

limsinxlnx

e

x 0 sinx

lim

lnx

e

1xlimx 0 sinx cosx

e

sin2xx 0 x cosxlim

e

x 0

lim

sinxsinx

xcosx

e0 1

ln(1 kx)

10.设函数f(x) x

1

x 0x 0

，若f(x)在点x 0处可导，求k与f (0)的值。

解：由于函数在x 0处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有 lim

ln(1 kx)kx

lim k f(0) 1，即k 1

x 0x 0xx

sx

按导数定义有

ln(1 x)1

1 1

f(x) f(0)ln(1 x) x 11 lim lim lim lim f (0) lim x 0x 0x 0x 0x 02(1 x)x 0xx22x2

1 cosx

x2

11.设函数f(x) k

11 x

xe 1

x 0

x 0

x 0，当k为何值时，f(x)在点x 0处连续。 x 0

f(x) limf(x) f(0)， 解：函数连续定义，lim

x 0

11ex 1 xex 1ex11

lim f(x) lim( ) lim lim lim lim x 0 x 0 xex 1x 0 x(ex 1)x 0 ex 1 xexx 0 ex ex xexx 0 2 x2