圆锥曲线定义在解题中的应用

圆锥曲线定义在解题中的应用

程森旺

（江西婺源天佑中学 婺源 333200）

摘　要：现行高中教材中的圆锥曲线既是教材的重要的基本内容，也是解决许多问题的一种方法。本文通过实例，从求解离心率、最值和轨迹等问题方面，讨论了圆锥曲线定义在解题中的重要性以及它的广泛应用。

关键词：圆锥曲线；离心率；最值；轨迹

中图分类号：O187.1 文献标识码：A 文章编号：1008-6757（2010）01-0086-02

现行高中教材中的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，三种圆锥曲线的定义既是教材的重要的基本内容，也是解决许多问题的一种方法。这一章的不少问题都与圆锥曲线的定义密切联系，需要利用定义求解，有些问题若能巧用定义求解，则变得非常简捷。所以，本章教学一定要强化定义的应用，要积极主动地培养学生应用定义解题的意识。本文拟从下面几个方面的问题通过实例谈谈圆锥曲线定义在本章解题中的重要性以及它的广泛应用。

∵△PQR为正三角形 ∴

由椭圆的第二定义得：∴

同理可得

一、圆锥曲线定义在离心率问题中的应用

离心率是圆锥曲线简单几何性质的一个方面，离心率问题是本章常见的基本问题，包括求离心率的值和求离心率的取值范围两类，离心率的不少问题与圆锥曲线的定义密切联系，可用定义求解。

例1：（2007年安徽高考题）如图所示，F1、F2是双曲

线

（a＞0，b＞0）的两个

焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．

C．

B．

D．1+

∵ M为线段PQ的中点 且PP1∥MM1∥QQ1∴

又 ∵ 0＜e＜1 ∴

点评：利用椭圆的第二定义进行转化以及挖掘不等关系|RM|≥|MM1|是解决本题的关键。

∴

二、圆锥曲线定义在最值问题中的应用

圆锥曲线中有大量的最值问题。其中有一部分最值问题需用圆锥曲线的定义转化后才能较好解决，因此，巧用定义将问题进行转化是解决这类最值问题的关键。

例3：已知A（4，0）、B（

）是椭圆

内的

[解析]：连结AF1，由△F2AB是等边三解形且圆与双曲线的对称性可知

∠AF2F1=30°，又F1F2是圆O的直径，

∴∠F1AF2=90°，

∵点A在双曲线的左支上

∴

即

，于是

，

，

答案：D

点评：求离心率的值关键是得出a与c的关系，这里只需用双曲线的第一定义便可得出a与c的关系，进而求出双曲线的离心率。

例2：过椭

圆

=1

点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最大值。

[解析]：由题意知点A（4，0）为椭圆的右焦点，设F为椭圆的左焦点，则

|MA|+|MF|=10∴|MA|=10－|MF|

∴|MA|+|MB|=10－|MF|+|MB| =10+|MB|－|MF| ≤10+|BF|=10+2=12∴ |MA|+|MB|的最大值为12。

点评：此题的解法很多，以上解法最为简捷。可见，熟悉圆锥曲线的定义，在解题过程中运用定义，并注意挖掘题目隐含的几何意义，可使解题简捷，少走弯路。

三、圆锥曲线定义在轨迹问题中的应用

圆锥曲线有两类基本问题：一类是由曲线求方程，另一类是由方程研究曲线的性质。因此，由曲线求方程（也称求轨迹方程）是本章最基本也是最重要的问题，也是高考考查的重点与热点问题。求轨迹方程常用的基本方法有：直译法、定义法、相关点法、参数法（有的资料上还提到交轨法，我认为可归入参数法）。定义法就是根据动点满足的条件特征，利用圆锥曲线的定义判断该动点的轨迹就是椭圆、双曲线或抛物线，从而轨迹方程的形式就确定了，再根据题中的条件确定方程中的参数就可求出动点的轨迹方程。

例4：若方程圆，求m的取值范围。

表示的曲线为椭

（a＞b＞0）的左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，在椭圆的左准线上存在一点R，使△PQR为正三角形，求椭圆离心率的取值范围。

[解析]：如图所示，取PQ的中点M，作PP1、MM1、QQ1垂直于左准线，垂足分别为P1、M1、Q1，连结RM。

收稿日期：2009-11-28

作者简介

：程森旺（1973.10-），男，江西婺源人，中级职称（中教一级），主要从事高中数学教学研究。

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[解析] ：方程

可化为：

∴ 点D的轨迹方程为：x+y=a2。

点评：根据题设条件巧用双曲线的定义是解题的关键。

对应迁移：F1、F2为椭圆

2

2

要使方程表示的曲线为椭圆，则应使离心率（0 , 1）（a＞b＞0）的左、

右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为______________。 答案：x2+y2=a2

例7：如图所示：⊙O：x2+y2=16，A（-2，0）、B（2，0）为两定点，L是⊙O的一条切线，若过A、B两点的抛物线以直线L为准线，则抛物线焦点的轨迹方程为_______________。

[解析]：设抛物线的焦点为F。作AA1⊥L，BB1⊥L，垂足分别为A1、B1，连结OM（M为切点），AF、BF。

由抛物线的定义知：|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|∵ AA1⊥L，OM⊥L，BB1⊥L

∴ AA1∥BB1∥OM 又O为AB的中点∴ |AF| + |BF| = |AA1| + |BB1|　　　　　 = 2|OM| = 8＞|AB|

∴点F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆。又 a = 4，c = 2， ∴ b2 = a2－c2=16－4=2

故抛物线焦点的轨迹方程为：

（y≠0）

∴ （5，+∞）

点评：挖掘题目中的几何意义，联系椭圆的第二定义是解决本题的关键。

例5：一动圆与已知圆O1

：外切，与圆O2：

内切，试求动圆圆心的轨迹方程。

[解析]：两定圆的圆心和半径分别为O1(-3, 0)，r1=1；O2(3, 0)，r2=9；设动圆圆心为M（x,y），半径为r：

则 由题设可得： |MO1|=1+r， |MO2|=9－r∴ |MO1|+|MO2| = 10＞|O1O2|

由椭圆的第一定义知：点M的轨迹是中心在原点，以O1、O2为焦点的椭圆。∵ a=5，c=3 ∴ b2=a2－c2=25－9=16

故动圆圆心的轨迹方程为

点评：熟悉图形的几何性质并联系椭圆的第一定义是解决本题的关键。

例6：F1、F2

分别为双曲线

（a＞0，b＞0）的左、右

焦点，P为双曲线的任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线。垂足为D，则点D的轨迹方程为______________。

[解析]：延长F1D交PF2的延长线于点E，连OD。

∵ PD⊥F1E 且 ∠ F1PD = ∠EPD

∴ Rt△PDF1 ≌ Rt△PDE∴ |PF1| = |PE| 且 |F1D| = |DE|∵ |F1O| = |OF2|， |F1D| = |DE|

∴ |OD| = |F2E|

　　　 = （|PE|－|PF2|）　　　 = （|PF1|－|PF2|）= a

点评：解题的关键有两个：①用好图形的性质；②用活抛物线与椭圆的意义。

小结：圆锥曲线定义是圆锥曲线方程这一章的基本内容，圆锥曲线的标准方程和简单的几何性质都建立在定义的基础上，因此，圆锥曲线定义是整章内容的理论基础。圆锥曲线的定义渗透在圆锥曲线问题的各个方面，圆锥曲线中的很多问题都与定义紧密相联。因此，灵活巧妙地运用圆锥曲线的定义解题成为一种很重要的方法与手段。我认为在本章的教学中，应强化定义的教学，积极主动地培养学生应用定义解题的意识，从而更好更快地提高解决问题的能力。

学生凡涉及到圆锥曲线焦半径与焦点弦的问题，一般均可考虑

利用定义帮助求解。