大一高数总复习资料

大一高数期末复习资料

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

U a, x|x a

U a,

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设f x 为有界函数，g x 为无穷小，则lim f x g x 0

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f穷小，且f

x 为无穷小；反之，若f x 为无

x 0，则f 1 x 为无穷大

1x x0

x|0 x a

【题型示例】计算：lim f x g x （或x ） 1．∵f x ≤M∴函数f x 在x x0的任一去心

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列 xn ，证明lim xn a

x

邻域U x0, 内是有界的；

（∵f x ≤M，∴函数f x 在x D上有界；） 2．limg x 0即函数g x 是x x0时的无穷小；

x x0

【证明示例】 N语言

1．由xn a 化简得n g ，

∴N g

2．即对 0， N g ，当n N时，始终有不等式xn a 成立， ∴lim xn a

x

（limg x 0即函数g x 是x 时的无穷小；）

x

3．由定理可知lim f x g x 0

x x0

（lim f x g x 0）

x

第三节 函数的极限

○x x0时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f x ，证明limf x A

x x0

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式p x 、q x 商式的极限运算

mm 1

am p x a0x a1x设：

nn 1

bn q x b0x b1x

【证明示例】 语言

1．由f x A 化简得0 x x0 g ， ∴ g

2．即对 0， g ，当0 x x0 时，始终有不等式f x A 成立， ∴limf x A

x x0

○x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数f x ，证明limf x A

x

n m

p x a0

则有lim n m

x q x b 0

n m 0

f x0

g x0 0

g x0

f x lim g x0 0,f x0 0 x x0g x

0 g x0 f x0 00

【证明示例】 X语言

1．由f x A 化简得x g ， ∴X g

2．即对 0， X g ，当x X时，始终有不等式f x A 成立， ∴limf x A

x

（特别地，当lim

x x0

x g x

f

00

（不定型）时，通常分

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数f x 无穷小 limf x 0 函数f x 无穷大 limf x

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值lim

x 3x 9

2

x 3

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【求解示例】解：因为x 3，从而可得x 3，所以原式 lim

x 3x 9

2

x 3

lim

x 3

x 3

x 3 x 3

x 3x 9

2

lim

1x 3

x 3

16

2x 3

解：lim x

2x 1

x 1

2x 1 2 lim x

2x 1

2x 12

22x 1

x 1

x 1

2

lim 1 2x 1 2x 1

2

2x 12

x 1

其中x 3为函数f x

的可去间断点

2

lim 1 2x 1 2x 1

2

lim 1 2x 1 2x 1

lim

2

lim 1 2x 1 2x 1

2

lim x 1

2x 1 2x 1

2x 1

x 1

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：lim

x 3x 9

2

2x 12

x 3

lim

x 3

L x 3

x

2

9

lim

12x

x 3

16

lim

2x 1

2 2x 1 x 1

e

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数f x 是定义域上的连续函数，那么，limf x f lim x x x x x

e

2x 1

2x 2

2x 1

e e

1

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．

U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1 U)~ e 1

U

【题型示例】求值：lim【求解示例】lim

x 3x 9

2

x 3

x 3

6

2．U

2

1

2

~1 cosU

ln 1 x xln 1 x

x 3x

2

（乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值：lim

x 0

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：lim∵ x 0,

lim

xsinx

【求解示例】

解：因为x 0,即x 0,所以原式 lim

lim

ln 1 x xln 1 x

x 3xx 1x 3

13

2

x 0

sinxx

x 0

1

sinxx

1

，sinx x tanx∴lim

x 02

1sinxx

lim1

x 0

x 0

1 x ln 1 x 1 x x

lim

x 0x 0x x 3 x x 3

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）

x x0

lim

x 0

x 0

lim

sinx lim x 0

x

1

lim f

x

x x0

lim f

x

f

x0

○间断点的分类（P67）（★）

第一类间断点（左右极

跳越间断点（不等）

限存在）

可去间断点（相等）

（特别地，lim

sin(x x0)x x0

x x0

1）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

1

第二个重要极限：lim 1 e

x x

x

第二类间断点

无穷间断点（极限为

）

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

e2xx 0【题型示例】设函数f x ，应该怎样选

a xx 0

（一般地，lim f x lim

f x 0）

g x

limf

x

limg x

，其中

2x 3

【题型示例】求值：lim

x

2x 1

x 1

择数a，使得f x 成为在R上的连续函数？ 【求解示例】

f 0 e2 0 e1 e

1．∵ f0 a 0 a

f 0 a

【求解示例】

2．由连续函数定义limf x limf x f 0 e

x 0

x 0

∴a e

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第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程f x g x C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数 x …… 此处隐藏：10347字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……