模糊聚类案例分析

模糊聚类分析

模糊数学方法及其应用

论文题目： 模糊聚类方法案例分析

小组成员：

王季光 宋申辉 兰洁 陈倩芸 肖仑 杨洋 吴云峰

2013年 10 月 27 日

模糊聚类分析

模糊聚类分析方法

1.1距离和相似系数

为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。另一种方法是将一个样品看作P维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍变量的类型。

由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分： 间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。在间隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。

有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。

名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。

不同类型的变量，在定义距离和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。

设有n个样品，每个样品测得p项指标（变量），原始资料阵为

x1 x2 xp

X1

XX 2

Xn

x11 x 21 xn1

x12

x22 xn2

x1p x2p

xnp

其中品

Xi

xij(i 1, ,n;j 1, ,p)

为第i个样品的第j个指标的观测数据。第i个样

为矩阵X的第i行所描述，所以任何两个样品XK与XL之间的相似性，可

xK

以通过矩阵X中的第K行与第L行的相似程度来刻划；任何两个变量间的相似性，可以通过第K列与第L列的相似程度来刻划。

1.2 F相似关系 1.2.1定义

与

xL

之

设R F(U U)，如果具有自反和对称关系，则称R为U上的一个F相似关

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系（F表示模糊）

F相似关系可以用F矩阵表示。当论域U为有限时，具有F相似关系的矩阵，称为F相似矩阵。在实际应用时，通常只能得到自反矩阵和对称举证，即相似矩阵。现在的问题是对具有相似关系的元素怎样进行分类，也就是如何将相似矩阵

改造为等价矩阵。

1.2.2 定理

T

若R R，则称R为对称矩阵。（1）

若R I（I是单位矩阵），则称R为自反矩阵。（2）

2

R R若,则称R为传递的F关系。（3）

若满足上面三点则称为等价矩阵。

n

定理1：相似矩阵R un n的传递闭包是等价矩阵，且R R。

证 只需要证明R是自反的、对称的。

2nR IRR因是自反的，故， R。不难得到R不减，因此

R Rk Rn I

k 1

n

，

即R是自反的。

nTTnn

(R) (R) RR R因为，，故R是对称的。

T

有定理1可见，要想将相似矩阵改变为等价矩阵，只需求相似矩阵的传递闭

包。

定理2：设R un n是自反矩阵，则任意自然数m n，都有

R Rm

证 由R自反性推得

R R2 ... Rn ... 当m n时，有

n

m

k

k 1

R R R R R

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1.3 聚类分析

所谓聚类分析，就是用数学的方法对事物进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生之前，聚类分析已是数理统计多元分析的一个分支，然而现实的分类问题往往伴有模糊性。例如，环境污染分类、春天连阴雨预报、临床症状资料分类、岩石分类，等等。对这些伴有模糊性的聚类问题，用模糊数学语言来表达更为自然。

模糊聚类分析的步骤： 第一步：数据标准化 数据矩阵

设论域U {x1,x2, xn}为被分类的对象，每个对象由m个指标表示其性状， 即

xi (xi1,xi2,...,xim)

x11 x21 xn1

于是得到原始数据矩阵为

x12 x1m

x22 x2m

xn2 xnm

数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。

通常需要作如下集中变换。 1）平移 标准差变换 2）平移 极差变换 3）对数变换

第二步 标定（建立模糊相似矩阵）

设U {u1,u2, ,un}为待分类的全体。其中每一待分类对象由一组数据表征如下：

ui (xi1,xi2,...,xim) 现在的问题是如何建立

ui

和

uj

之间的相似关系。这有许多方法（这里选一些，

ui

列在下面），我们可以按照实际情况，选其中一种来求与

uj

的相似关系

R(ui,uj) rij

。

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（1）形似系数法 数量积法

其中M为一适当选择之正数，满足

k 1

1 rij 1

M

当i j

x

m

m

ik

.xjk

当i j

M max( xik.xjk)

i,j

k 1

夹角余弦法

rij

x

m

ij

xjk

相关系数法

rij

|x

m

ik

i||xjk j|

1m11

i xik,j xjk

mk 1mk 1 其中

最大最小法

rij

min(x

k 1

mk 1

m

ik

,xjk),xjk)

max(x min(x

k 1m

ik

算术平均最小法

ik

rij

,xjk)

1m

(xik xjk) 2k 1

m

几何平均最小法

rij

min(x

k 1

ik

,xjk)

k 1

m

绝对值指数法

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rij e

|xik xjk|

k 1

m

绝对值减数法

1 mrij

1 c |xik xjk|

k 1 其中，c适当选取，使

当i j当i j

0 rij 1

。

（2）距离法

1）直接距离法 海明距离 欧几里得距离 切比雪夫距离 2）倒数距离法 3）指数距离法

选择上述哪一个方法好，要按实际情况而定。在实际应用时，最好采用多种方法，选取分类最符合实际的结果。 第三步 聚类（求动态聚类图）。

由第一步得到的矩阵R一般只满足自反性和对称性，即R是相似矩阵，

，R 便是所需将它改造成模糊等价 …… 此处隐藏：2008字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……