双变量回归与相关(医学统计学课件[中南大学]七年制)

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第九章双变量回归与相关Linear Regression and Correlation

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双变量计量资料：每个个体有两个变量值 总体：无限或有限对变量值 样本：从总体随机抽取的n对变量值 (X1,Y1), (X2,Y2), …, (Xn,Yn) 目的：研究X和Y的数量关系 方法：回归与相关 简单、基本——直线回归、直线相关102 2

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Content1. Linear regression 2. Linear correlation 3. Rank correlation 4. Curve fitting

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历史背景：十九世纪英国人类学家 F.Galton首次在 《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和 “相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。

其后，他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、臂长、拃长(伸开大拇指与中指两

端的最大长度)做了测量，发现：

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儿子身高(Y,英寸)与父亲身高(X,英

寸)存在线性关系：

Y 33.73 0.516 X即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个

子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象

称之“回归”。

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目前，“回归”已成为表示变量之间 某种数量依存关系的统计学术语，并且衍 生出“回归方程”“回归系数”等统计学 概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水

平的关系，研究儿童年龄与体重的关系等。

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第一节 直线回归

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一、直线回归的概念目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。 特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数

关系。102 8

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例9-1

某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿

肌酐含量(mmol/24h)如表9-1。估计尿肌酐含量(Y)对其年龄(X)的回归方程。

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表9-1 8名正常儿童的年龄 X (岁)与尿肌酐含量 Y(mmol/24h)

编 号 年龄 X

1 13

2 11

3 9

4 6

5 8

6 10

7 12

8 7

尿肌酐含量 Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65

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在定量描述儿童年龄与其尿肌酐含量 数量上的依存关系时，将年龄称为自变量(independent variable),用 X 表示；尿肌

酐含量称为应变量 (dependent variable) ,

用 Y 表示。

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由图9-1可见，尿肌酐含量 Y 随年龄 X 增加而

增大且呈直线趋势，但并非8个点子恰好全都在一直线上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线 回归(linear regression),其方程叫直线回归方程，

以区别严格意义的直线方程。双变量直线回归是回归分析中最基本、最简单的

一种，故又称简单回归。

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直线回归方程的一般表达式为

Y a bX

(9 1)

Y 为各X处Y的总体均数的估计。102 14

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1.a 为回归直线在 Y 轴上的截距。

a > 0,

表示直线与 纵轴的交点在原点的 上方； a < 0,则交点在原 点的下方；

Y a<0

a=0 a>0

a = 0,则回归直线 通过原点。

0

X

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2. b为回归系数，即直线的斜率。

b>0,直线从左下方走向 右上方，Y 随 X 增大而 增大； b<0,直线从左上方走 向右下方，Y 随 X 增大 而减小； b=0,表示直线与 X 轴 平行，X 与Y 无直线关系。

Y b>0

b=0

0

b<0 X

b 的统计学意义是：X 每增加(减)一个单位，Y 平均 改变b个单位。102 16