定积分典型例题

例1 求 .分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法：先对区间 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间 等分,则每个小区间长为 ,然后把 的一个因子 乘入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即

定积分典型例题

例1

求lim

1n

2

n

．

分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解 将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为 xi 各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

lim

1n

2

1n

，然后把

1n

2

111

的一个因子乘入和式中nnn

n

=lim

1n

n

=

34

．

例2

=_________． dx

解法1

由定积分的几何意义知， 与x

轴所围成的图形的面积．故

等于上半圆周(x 1) y 1 (y 0)

22

=

2

．

解法2 本题也可直接用换元法求解．令x 1=sint（

2

t

2

），则

=

1

1

2

2

tdt=21

2

tdt=2 2costdt=

2

例3 比较 edx， edx， (1 x)dx．

2

2

2

xx

2

分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．

解法1 在[1,2]上，有e e

x

x

2

x

．而令f(x) e (x 1)，则f (x) e

x

当x 0时，f (x) 0，1 ．

f(x)在(0, )上单调递增，从而f(x) f(0)，可知在[1,2]上，有e 1 x．又

x

12

f(x)dx f(x)dx，从而有 (1 x)dx edx

1

2

2

211

x

12

edx．

x

x

2

解法2 在[1,2]上，有e e

xx

2

．由泰勒中值定理e 1 x

e

2!

x得e 1 x．注意到

2x

12

f(x)dx f(x)dx．因此

1

2

例4 估计定积分 e

20

x x

2

12

(1 x)dx edx

2

1

x

12

edx．

x

2

dx的值．

分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 f(x) e

x x

2

x

, 因为 f (x) e

2

x

(2x 1), 令f (x) 0，求得驻点x

12

, 而

例1 求 .分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法：先对区间 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间 等分,则每个小区间长为 ,然后把 的一个因子 乘入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即

f(0) e 1, f(2) e, f() e

2

02

1

14

,

故

e

14

f(x) e,x [0,2],

2

从而

2e

14

02

20

e

x x

2

2

dx 2e,

所以

2e

2

e

x x

2

dx 2e

14

.

例5 设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x) 0，f(x)

0．求lim

n

ba

g(x．

解 由于f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m．由f(x) 0

m 0．又g(x) 0，则

知M 0，

g(x)dx

a

b

ba

g(x

ba

g(x)dx．

由于lim

n lim

n 1，故

ba

lim

n

g(x= g(x)dx．

a

b

例6求lim

n

n pn

sinxx

, p,n为自然数．

分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．

解法1 利用积分中值定理 设 f(x)

sinxx

, 显然f(x)在[n,n p]上连续, 由积分中值定理得

n pn

sinxx

sin

p, [n,n p],

当n 时, , 而sin 1, 故

lim

n

n pn

sinxx

dx lim

sin

p 0．

解法2 利用积分不等式 因为

而limln

n

n pn

sinxx

n pn

sinxx

n pn

1x

ln

n pn

,

n pn

0,所以

n pn

lim

n

sinxx

0．

例1 求 .分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法：先对区间 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间 等分,则每个小区间长为 ,然后把 的一个因子 乘入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即

例7 求lim

n

10

x

n

1 x

dx．

解法1 由积分中值定理

n

ba

f(x)g(x)dx f( ) g(x)dx可知

a

b

又

10

x

1 x

dx=

11

10

xdx，0 1．

n

lim

n

10

xdx lim

n

1n 1

n

0且

12

11

1，

故

lim

n

10

x

n

1 x

n

dx 0．

解法2 因为0 x 1，故有

0

x

x．

n

1 x

n

于是可得

0

10

x

1 x1

dx

10

xdx．

n

又由于

因此

10

xdx

n

n 1

0(n )．

lim

n

10

x

n

1 x

dx=0．

1

例8 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且4 3f(x)dx f(0)．证明在(0,1)内存在一

4

点c，使f (c) 0．

分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件f( ) f(0)即可． 证明 由题设f(x)在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得

f(0) 4 3f(x)dx 4f( )(1

1

34

) f( )，

3

其中 [,1] [0,1]．于是由罗尔定理，存在c (0, ) (0,1)，使得f (c) 0．证毕．

4