大学物理力学作业分析(5)

大学物里作业分析（5）（2007/04/24）

5.4 求下列刚体对定轴的转动惯量

(1) 一细圆环，半径为R，质量为m但非均匀分布，轴过环心且与环面垂直； (2) 一匀质空心圆盘，内径为R1，外径为R2，质量为m，轴过环中心且与环面垂直； (3) 一匀质半圆面，半径为R，质量为m，轴过圆心且与圆面垂直。

2

解:(1) 取质元dm，质元对轴的转动惯量dJ=Rdm 园环转动惯量为各质元转动惯量之和 J dJ R2dm R2 dm R2m (2) 园盘的质量面密度为

m

2

2

(R2 R1)

2

若是实心大园盘，转动惯量为 J2

12

m2R2

12

4

12

R2 R2

2

22

12

4

R2

挖去的空心部分小园盘的转动惯量为 J1

J J2 J1

12

m1R2

4

12

R1 R1

22

12

4

R1

(R2 R1)

2

12

m

空心园盘转动惯量为

12

2

(R2 R1)

22

(R2 R1)

44

m(R1 R2)

1212

2m RJ0

12

2

(3) 若为完整的园盘，转动惯量为 J0 半园盘转动惯量为整个园盘的一半，即 J

mR

2

2

mR

注：只有个别同学做错了！

5.5如图5-31所示，一边长为l的正方形，四个顶点各有一质量为m的质点，可绕过一顶点且与正方形垂直的水平轴O在铅垂面内自由转动，求如图状态(正方形有两个边沿着水平方向有两个边沿着铅垂方向)时正方形的角加速度。

O

题5.5图 图5-31

解：正方形的转动惯量 J 2 ml

m 2mgl

2

m(2l)

2

4ml

2

正方形受到的重力矩

由转动定律 M=J 得到转动角加速度

MJ

2mgl4ml

2

g2l

注：此题做得很好！

5.6如图5-32所示，一长度为l，质量为m的匀质细杆可绕距其一端l/3的水平轴自由

转动，求杆在如图角位置 处的角加速度。

O

图5-32 题5.6图

解：杆对轴的转动惯量为左、右两部分之和 J J1 J2 杆受重力矩为 M mg

l6cos

13 m

l212m2l21

() () ml333339

MJ 3g2lcos

2

由转动定律 M=J 得到

注：此题大部分同学都能做对。

5.12 一星球可看作匀质球体，若在一个演化过程中它的半径缩小为原来的一半，它的自转周期为原来的 倍，它赤道上一点的速率是原来的 倍。

解：0.25；2

5.14 一匀质圆盘半径为R，质量为m1，以角速度 0绕过盘心的垂轴O转动，一质量为

m2的子弹以速度v沿圆盘的径向击入盘边缘，求击入后盘的角速度。

解：按角动量守恒有

12m1R

2

0 (

12

m1R

2

m2R)

2

得到

m1 0m1 2m2

注：这两个题做得很好！

5.16 如图5-39所示，一细杆长度为l，质量为m1，可绕在其一端的水平轴O自由转动，初时杆自然悬垂。一质量为m2的子弹以速率v沿杆的垂向击入杆中心后以速度v求杆获得的角速度及最大上摆角。

2

穿出，

v

v2

图5-39 题5.16图

解：按角动量守恒有 m2v 按机械能守恒

12

2

l2

m2

l2

v2

l2

13

m1l

2

得到杆获得的角速度

3m2v4m1l

13

2

m1l

2

2

m1g

(1 cos ) 得到杆最大上摆角

arccos(1

3m2v16

2

m1

gl

)

注：此题做得不好，有些同学只把角速度算出来了，还有些同学角度没算对！

5.18 如图5-41所示，一细杆长度为l，质量为m，在光滑水平面上以速度v沿杆垂向平动。杆与垂轴z相撞后绕z轴转动。若碰撞位置O距杆一端l3，求

杆绕z轴转动的角速度。

解：杆的角动量守恒，有 L1=L2

(1) L1为碰撞前杆的角动量，以逆时针转动为正方向，下面l部分角动量L下为正、上

32

面l部分角动量L上为负：即L1 L下 L上。

3

1

对于下面部分，取线元dx，线元质量为dm 动量为 dL

L上 dL

mvlmvl

xdx

ml

dx

，动量为dp

29mvl

mvl

dx

，对于转轴的角

故 L下 dL 0

118mvl

2l/3

mvl

xdx

同理，对于上面部分

0

l/3

dxd

16mvl

故碰撞前杆的角动量 L1 L上 L下 (2) L2为碰撞后角动量。 碰后杆绕子轴转动的惯量为 J 角动量 L2 J

19ml

2

13

23

m (

23

l)

2

11121

m (l) ml3339

2

16mvl

19ml

2

(3) 由角动量守恒 L1=L2有

3v2l

得到杆转动角速度

注：此题大部分同学做对了！

5． 20如图5-42所示，一定滑轮可看作匀质圆盘，它的半径为R，质量为m1，可绕过

盘心的水平轴O自由转动。轮上绕有轻绳，绳上挂两个质量分别为m2和m3的物体，已知m2>m3，求m2从静止下落h时的速度

m3 h

图5-42 题5.20图

解：以初始位置作为两个重物的重力势能零点，按机械守恒，有 0

12

(m2 m3)v

2

12

12

m1R

2

2

m3gh m2gh

(1)

按角量线量关系有 v R 联立以上二式解得 v 2

(m2 m3)ghm1 2m2 2m3

(2)

5.22 如图5-44所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一轻绳，绳子绕过一半径为r，质量为m1的定滑轮后连接一质量为m2的物体。滑轮可看作匀质圆盘且轴视作光滑。先用手托住物体使弹簧为自然长度，然后松手使其下落。 (1) 求弹簧的最大伸长；

(2) 求重物下落h处的速度。

图5-44 题5.22图

解：(1) 设最大伸长为lm，设初始位置为重物的重力势能零点，按机械守恒有 0

12

klm m2glm

2

得到 lm

2m2gk

(2) 按机械能守恒有 0

12m2v

2

12

12

m1R

2

2

12

kh

2

m2gh

(1) (2)

由角量线量关系有 v=R 联立以上二式解得 v

4m2gh 2khm1 2m2

2

注：此题做得不错！

5.23

取初始位置为如图5-45所示，一细杆长度l=0.5m，质量m=6kg，可绕其一端的水平

轴O在竖直平面内无摩擦转动。在O轴正上方高度h=2l处的p点固定着一个原长也为l，劲度系数k=100Nm的弹簧。把杆的活动端与弹簧的活动端挂接并使杆处于水平位置后释放，求杆转到竖直位置时的角速度

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