高数下册知识点

包括了高数学位考试的复习重点

高等数学下册知识点

第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)，

则 a b (ax bx,ay by,az bz), a ( ax, ay, az)； 5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：r

x y z

2

2

2

；

222

2） 两点间的距离公式：AB (x2 x1) (y2 y1) (z2 z1)

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 , , xyz, cos , cos 4） 方向余弦：cos rrr

cos cos cos 1

Prja acos a5） 投影：，其中为向量与u的夹角。 u

（二） 数量积，向量积

222

1、 数量积：a b a

bcos

2

1）a a a

2）a b a b 0

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a b axbx ayby azbz

2、 向量积：c a b

大小：absin ，方向：a,b,c符合右手规则

1）a a 0

2）a//b a b 0

ijk

a b axayaz

bxbybz

运算律：反交换律 b a a b

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 0 2、 旋转曲面：

yoz面上曲线C:f(y,z) 0，

绕y轴旋转一周：f(y, 绕z轴旋转一周：f( 3、 柱面：

F(x,y) 0F(x,y) 0表示母线平行于z轴，准线为 的柱面

z 0

2

x z) 0

2

22

x y,z) 0

4、 二次曲面

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x

1） 椭圆锥面：

22

a

22

ybya

yb

22

22

z

zczc

22

22

2

x

2） 椭球面：

ax

1 1 zczc

22

22

22

22

旋转椭球面：

a

x

22

ybyb

3） 单叶双曲面：

ax

1 1

22

22

22

4） 双叶双曲面：

a

x

5） 椭圆抛物面：

22

a

yb

22

z

22

x

6） 双曲抛物面（马鞍面）：

a

yb

22

z

x

7） 椭圆柱面：

2222

ax

ybyb

2222

1 1

8） 双曲柱面：9） 抛物柱面：

a

x ay

2

（四） 空间曲线及其方程

F(x,y,z) 01、 一般方程：

G(x,y,z) 0

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x x(t)

2、 参数方程： y y(t)

z z(t)

x acost

，如螺旋线： y asint

z bt

3、 空间曲线在坐标面上的投影

F(x,y,z) 0 H(x,y) 0

，消去z，得到曲线在面xoy上的投影 G(x,y,z) 0 z 0

（五） 平面及其方程

1、 点法式方程：A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0

法向量：n (A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、 一般式方程：Ax By Cz D 0

x

截距式方程：

a

yb

zc

1

3、 两平面的夹角：n1 (A1,B1,C1)，n2 (A2,B2,C2)， cos

A1A2 B1B2 C1C2

A B C

21

21

21

A B C

222222

1 2

A1A2 B1B2 C1C2 0 A1A2

B1B2

C1C2

1// 2

(x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D 0的距离： 4、 点P0

d

Ax0 By0 Cz0 D

A B C

2

2

2

（六） 空间直线及其方程

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Ax B1y C1z D1 0 1

1、 一般式方程：

A2x B2y C2z D2 0

2、 对称式（点向式）方程：

x x0

m

y y0

n

z z0

p

方向向量：s (m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

x x0 mt

y y0 nt

3、 参数式方程：

z z0 pt

s (m,n,p)s (m2,n2,p2)， 4、 两直线的夹角：1111，2cos

m1m2 n1n2 p1p2

m n p

2

1

21

21

m n p

222222

L1 L2 m1m2 n1n2 p1p2 0

L1//L2

m1m2

n1n2

p1p2

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

sin

Am Bn Cp

A B

2

2

C

2

m

2

n p

22

L//

L

Am Bn Cp 0 A Bn Cp

m

第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念

包括了高数学位考试的复习重点

1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：z f(x,y)，图形： 3、 极限：(x,y)lim (x4、 连续：(x,y)lim (x5、 偏导数：

fx(x0,y0) lim

f( x0 x,y0) f( x0,y0)

x

0,y0)

f(x,y) A f(x,y) f(x0,y0)

0,y0)

x 0

fy(x0,y0) lim

f(x0,y0 y) f(x0,y0)

y

y 0

6、 方向导数：

f l

f x

cos

f y

cos 其中 , 为

l的方向角。

7、 梯度：z f(x,y)，则gradf(x0,y0) fx(x0,y0)i fy(x0,y0)j。

8、 全微分：设z f(x,y)，则dz （二） 性质

z x

dx

z y

dy

1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

充分条件

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2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法

1） 定义：ux 2） 复合函数求导：链式法则

z

若z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y)，则v

z z u z v z u z v

，

x u x v x y u y v y z

y

3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） （三） 应用 1、 极值

1） 无条件极值：求函数z f(x,y)的极值

fx 0

解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令

fy 0

A fxx(x0,y0)，B fxy(x0,y0)，C fyy(x0,y0)，

2

① 若AC B 0，A 0，函数有极小值， 2

若AC B 0，A 0，函数有极大值； 2

② 若AC B 0，函数没有极值； 2③ 若AC B 0，不定。

2） 条件极值：求函数z f(x,y)在条件 (x,y) 0下的极值 令：L(x,y) f(x,y) (x,y) ——— Lagrange函数

Lx 0

L 0

解方程组 y

(x,y) 0

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