概率论与数理统计(中山大学版)第七章答案

第七章 参数估计

1.解：

19

总体 的c.f. 0(t) (1 i t)

( , ) (3,),E ,D 2 t

子样的c.f. 1(t) (1 i ) n

n

2n 记 ＝,则 的c.f. 2(t) (1 2it) n

1

3127

n

(n ,2) 2(2n )( 2(n) (,2))

2

2nM

P{ M} P{ 0.01

2nM

22n (0.001) 230(0.01) 50.89

M 50.89

2.解：

2n

50.89

11

0.56544109

(y) e y, 0, 0,y 0震级 m的概率

P{ m} F(m) 即 E( )3.解：

m

0 0

(y)dy (y)dy

m

0 0

e ydye ydy

1 e m,m 0

14

0.7(用频率估计概率)20

N(a,1),P{ 0}

a N(0,1)

P( 0) p( a a) ( a) 1 (a) 0.7

0.2544. (a) 0.3 a

4.解：求 的极大似然估计量 1

f(x; ) e |x |,|x| , 0, x

2(1)

i 1

n

f(xi; )

1en2

|xi |

i 1

n

当 取x1,x2, ,xn的中位数时，|xi |取到最小值。 i 1 (2) 的似然发函数为

n

L(x; ) ( xi) 1

n

i 1

n

对数似然方程为

n

lnL(x; )

(nln 1 lnxi)

i 1nn n lnxi 0 n i 1

lnxi

i 1

n

ln

i 1

n

i

1

(3) 的似然函数为

11

L(x; ) n (0 x(n) )

x(n)n

mle (n)

1 2 是 的矩法估计量(不同于极大似然估计量)。, 2

(4) 的似然函数为 又E

L(x; )

1

n

e

i 1

xi

n

对数似然方程为

xi lnL(x; )

( nln i 1)

n

n

x

i 1

n

i

n

2

i

0

n5.解：

x

i 1

mle .

S2 S2

p 1

Np

22

S Npq

N p S2 S2

p

2

N S2

6.解：

ln N(a, ), e ,

E Ee 7.解：（1）

的似然方程为

n

L(x; ) e

n

(ti t0)

i 1

对数似然方程为

n

lnL(x; ) (nln ti n t0) i 1

n

ti nt0

i 1

n

n

t nt

ii 1

n

1

T t0

（2）t0的似然方程为:

L(x;t0) e

n

(ti t0)

i 1

n

对数似然方程为

n

lnL(x;t0) (nln ti n t0) t0 t0i 1

n 0

t0 ti,i 1,2, ,n

min (ti t0) (ti minti)

ti t0

i 1

i 1

n

n

t 0 minti

1 i n

8.解： （1）：

1n1n E E| i a| (ch6,Ex7)ki 1ki 1

(2):

n 1

,1 k

21 E E( i 1 i)2

ki 1

1n 1n 12 (E i 12 2E i i 1 E i2) 2 ki 1k k 2(n 1) 9.解：

T ci i ET ciE i cia a ci 1

i 1

i 1

i 1

i 1

nnnn

1n i

ni 1

cov( ci i,

n

i 1

n

i

T,

)

1n

ciD i

令

10.解： Ea Ea a,但Ea123

＝1＋9＋1＝0.38Da1

251004

＝1＋1＋25＝0.3472Da2

916144

＝1＋1＋1＝0.388Da3

9364 的方差最小。 a

2

11.解：

, cov（a1a2） , ＝ cov（a1a2）= 1 2

1 2

2222 +ca a ) D(c1a122) c1 1 c2 2 2c1c2cov(a1,2

c12 12 c22 22 2 c1c2 1 2

( 12 22 2 1 2)c12 (2 1 2 2 22)c1 222 1 2 2 22

当c1

2( 12 22 2 1 2)

22 1 2

2时，取最小值.2

1 2 2 1 2

12.解：

（1）a ,Ea E( ) E E a1 a2 （2）

D( ) D D 1 2Da

n1n2

22

14 ,n1n2

11

z f(x,y) ,在x y n

xy即 条件下的极值，

由Langrange乘数法，令

14

L(x,y, ) f(x,y) (x y n) (x y n)

xy

1 0 x2

4n

Ly 2 0 x

y3 L x y n 0

nnn1 [],n2 n [] 的方差达到最小. 33时，可使a故

13.解： Lx

E( ) a1 a2,D( ) 12 22， 为a1 a2的由P48的推论知，

最小线性无偏估计。

14.解：

p{ n x} F(x) f *(x)

n

*n

xn

n

x3

3

3 4

3x

2

3

,E n*

3x3dx

3

4

n*为 的无偏估计.3

2

16 4* 16 23x

E n x3dx 2

90 15 3

2

4 4 4

D n* E n* E2 n* 3 3 3 161 2 2 2.1515

x3( x)3*

又p{ 1 x} 1 (1 ) 1

3

3( x)2

f *(x) 1

3

2

3( x) **

E 1 dx , 4 为 的无偏估计.130 4

2

82*2*223( x)E 4 1 16E 1 16 xdx 0 35283

D 4 1* E 4 1* E2 4 1* 2 2 2

553 4 1

D n* 2 D 4 1* 2

5 3 15

4

n*较为有效.3

15.解： E ,D 2 2D 2 2E

1

2

1

1

2

2

2

c E[c1 122] (c1 c2) c1 c2 1 c ＝c2D ＋c2D ＝c2 2 c2 2

又D[c1 122]11221122

222 2c12 2 c22 2 (2c12 c22) 2

又2c12 c22 2c12 (1 c1)2 2c12 1 2c1 c12 3c12 2c1 1

1 c 1 2 ,D[c 当c1 时,c1 1221211 c2 2]取最小值.

333 16.证:

T0 U0, T1,T2分别是g1( ),g2( )的最优无偏估计量， ETT10 ET2T0 0。

22

E(bT bT) bg( ) bg( )D(bT bT) bDT bDT2 112211221122112又因为, bT11 b2T U

且ET0(bT11 b2T2) EbTT110 Eb2T2T0 0

bT11 b2T是b1g1( ) b2g2( )的最优无偏估计量。 17．解：

(n1 1)S12(n2 1)S2222

(n 1), (n2 1)122

1 2

(n1 1)S12(n2 1)S22且,独立，由F分布的定义，有22

1 2

(n1 1)S12F＝ 1(n1 1)（1）22

S1(n2 1)S22 2

＝ F（n1-1,n2-1） 2(n2 1) 12S22

则由

22 2S

1 P{k1 F K2} P{k1 212 K2}

1S2

S12 12S12

p{ 2 22

k2S2 2k1S2

通常取k1 F1 /2(n1 1,n2 1),k2 F /2(n1 1,n2 1),

(2).

12S12S12即2的1 置信区间为().22

2k2S2k1S2

N(a1 a2 N(0,1)

a1 a2的置信区间为 …… 此处隐藏：1759字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……