南航工科数学分析第2学期期末考试试卷A(答案)

南京航空航天大学工科数学大二学期期末考试试卷

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南京航空航天大学工科数学大二学期期末考试试卷

第 2 页(共 3 页) 3 解：记 S1 : x y 1, z 1 (下侧) S2 : x y 4 , z 2 (上侧) .…… (2 分)2 2 2 2

根据高斯公式可得

I (

S S1 S3

) ydy dz xdz dx z 2dx dyS1 S22

2 zdv V

x y 1

dxdy 2

2

x y 4

4dxdy ……………… (6 分)

2

2 zdz 21

2

x y2 z2

dxdy 2

x y 1

dxdy 2

2

x y 4

4dxdy

2

15 15 16 .……………… (9 分) 2 2 y x 2 又解： I y, x, z , ,1 dxdy ……………… (5 分) 2 2 2 2 x y S x y 2 2 2 z dxdy ( x y )dxdy ……… (7 分) [Dxy : 1 x2 y2 4 ]

S

Dxy

15 . ……… (9 分) 0 1 2 x 1 y 1 z 2 四、解：在点 P 处的法线方程： ;………………… (5 分) 2 1 1

d r 2 rdr

2

2

n0

1 (2, 1, 1) 6(1,1,2)

x y z2 u (1,1,2) ( , , ) 3 6 6

1 1 4 ( , , ) 3 6 6

u 1 ………………… (10 分) u (1,1,2) n 0 n (1,1,2) 6 6五、解：特征根为 1, 2 2 i ,……………… (2 分) 特征向量为 r i 1 ,……………… (5 分)

1

解得通解为

sin t c1 cos t x (t ) e 2t .………………… (7 分) cos t sin t sin t cos t c2

南京航空航天大学工科数学大二学期期末考试试卷

第 3 页(共 3 页) 将初始条件代入得

c1 0 ,………………… (9 分) c2 1

故特解为 x (t ) e

2t

cos t sin t 0 2t sin t e ……………… (11 分) cos t sin t sin t cos t 1 sin t cos t

六、解：

z x z y (r ) f ( r ) , f x r y r

1 x2 2 z 1 y2 2 z x2 y2 f (r ) 2 f (r ) 3 , 2 f (r ) 2 f (r ) 3 ………( 6 分) x 2 r r r r y r r 代入原方程可得， f (r ) f (r ) r 2 …………………(8 分) 解得 f (r ) C1 cos r C2 sin r r 2 2将r

x 2 y 2 代入得函数 f 的表达式.…………………(12 分)

七、证明题 证明： 设在该平面上 C 所围成的区域为 , 则其法线的方向余弦即为 cos , cos , cos . 根 据斯托克斯公式有

C

dx cos xC

dy cos y

dz cos z

( z cos y cos )dx ( x cos z cos )dy ( y cos x cos )dz

cos x z cos y cos

cos y x cos z cos

cos dS …………………(4 分) z y cos x cos

2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 2 dS 2 S …………………(6 分)