异面直线所成的角

异面直线所成的角

异面直线所成的角

一、异面直线所成的角。1、定义：已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作 直线a`//a、b`//b,我们把a`与b`所成的锐角叫做异 面直线 a与b所成的角。 (00,900] (a和b所成的大小与点O的选择无关)b` a` a

bO

异面直线所成的角

2、求两异面直线所成的角。(1) 、通过平移。转化为相交直线所成的角。(构成三角形)

(2) 、向量法。

AB与CD夹角 满足cos =

AB CD | AB || CD |

异面直线所成的角

二、直线与平面所成的角。1、定义。

平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成 的锐角，叫做这条斜线 和这个平面所成的角。

一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；

一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 的角。

直线和平面所成角的范围是[0 ,90 ]。

异面直线所成的角

2、求直线与平面所成角转化为直线与它在平面内的射影所成的角

3、最小角定理 cos =cos 1 .cos 2

1 2

异面直线所成的角

三、二面角1、二面角的定义

从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角

α

ι

β

2、二面角的平面角一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面分别相交于射线 PA、PB 垂足为P,则∠APB叫做二面 角 的平面角ιγP A

βB

α

二面角的范围是[0 ,180 ]。

异面直线所成的角

3、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法ιpB

αβA B

pβ

βB

p

αA

ι

ι

O A

α

异面直线所成的角

二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角

2、证明 1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”

异面直线所成的角

小结:1、角的范围 异面直线所成角的取值范围是00,900] 直线与平面所成角的取值范围是[00,900] 二面角的平面角的取值范围是[00,1800] 2、求空间角的基本思想是转化成平面角： 一般的步骤是：

一“作”二“证”三“计算”

异面直线所成的角

1、正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1与AB1所成的角是 A)300;B) 450 ;C) 600 ;D) 900 。 2、正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1与对角面BB1D1D所成的 角是 A)∠C1BD1;B)∠C1BO1;C)∠C1BB1;D)∠C1BD。 3、自二面角内一点向两个面引垂线，它们所成的角与二面 角的平面角的 大小关系是 (A)相等； (B)互补； (C)互余。D1

O1A1

C1

B1

βB

p

D

C

ι

O A

α

答案：1、C

A

2、B

B

3、B

异面直线所成的角

例题：

1、长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB,B1C1的 中点，AB=BC=2,AA1=4。

(1)求 A1E, CF 。 (2)求异面直线A1E、CF所成的角。 解：如图建立坐标系D-XYZ,设DC=2, Z D1 则A1(2,0,4),E(2,1,0), C(0,2,0),F(1,2,4)。 所以A1 E (0,1, 4), CF (1,0,4) A1 E CF cos A1 E, CF | A

1 E || CF |C1F A1 B1

0 0 16

16 所以 A1E, CF arccos 17 16 直线A1E、CF所成的角为arccos17

16 17 17 17

D

C Y

A X

E

B

异面直线所成的角

2、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,,

解：作A1B1的中点M,连C1M,AM。 C1M A1B1,C1M 平面AB1,所以AC1 与AM所成的角是AC1与侧面AB1所成的角。 作CY CX,如图建立坐标系C-XYZ, A1 设CA=a,则 1 3 AC1 ( a ,0, 2a ), AM ( a , a , 2a ) 4 14cos AC1 , AM AC AM 4 a 0 2a2 2

侧棱长为 2a 求AC1与侧面ABB1A1所成的角。Z

C1B1

M C

| AC || AM |

3 3a a 2

3 2

Y

所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为300。 因为直角三角形AC1M中， 方法二、 AC1= 3a , M 3 , C12

X

A

B

小结

异面直线所成的角

1、一条直线与平面所成的角为π/3,则此直线与 这平面内所有直线所成角中最大的角是———— 2、正方体ABCD-A1B1C1D1中AE与CF所成的角 的余弦值是————D1 C1

A1

E

B1

答案： 1、900

2、2/5

D

C

F

A

B

小结