数值分析12(插值方法1)

《数值分析》 12 插值的应用背景 拉格朗日插值公式

牛顿插值公式 插值误差余项 Runge反例14:05

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趣例1: 图像放大

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趣例2: 工业设计

先是雷诺和雪铁龙工作的 Paul de Casteljau 和Pierre Bé zier, 随后美国通用汽车的 其它人一起推动了现在称为三次样条和Bé zier 样条的建立。样条是通过很少的控 制点就能够生成复杂平滑曲线的方法。

http://www.77cn.com.cn/14:05

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趣例2: 工业设计

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趣例3: 数据可视化

http://www.77cn.com.cn/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_vis ualization?language=zh-cn14:05

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趣例4: 游戏与电影

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Demo1:figure('position',get(0,'screensize')) axes('position',[0 0 1 1]) [x,y] = ginput;n = length(x); s = (1:n)'; t = (1:.05:n)'; u = splinetx(s,x,t); v = splinetx(s,y,t); clf reset plot(x,y,'.',u,v,'-');14:05

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数据和插值函数 如果一个函数P(x)满足yi = P(xi) (i=0,…, n), 那么 函数P(x) 插值了一系列数据点(x0,y0 ), · · · (xn,yn ), 其中P(x)称为插值函数,点x0 , · · · ,xn称为插值节点。P(x)

x0

x1

x2

x

x3

x4

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函数是描述自然界客观规律的重要工具。8/49

插值问题研究包括如下三个方面:

插值函数的选择和构造

插值函数的存在唯一性 插值误差估计的问题

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已知函数表求满足:

L(x0)=y0, L(x1)=y1 的线性函数 L(x)过两点直线方程

x f(x )

x0 y0

x1 y1

y1 y0 L( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0例 求 115 的近似值(函数值: 10.7238)

11 10 115 10 (115 100) 10.7143 121 100 14:0510/49

线性插值函数(x1,y1)

L1(x)

(x0 ,y0)

x0

x1

可见

是过

和

两点的直线。11

抛物插值函数

x0

x1

x2

因过三点的二次曲线为抛物线,故称为抛物插值。12

插值函数的选择:

选择多项式函数的理由:理论方面多项式函数简单明了的数学性质。 有一个简单的原理可以说明什么时候存在给定 次数的插值多项式。 更重要的是计算方面多项式函数是计算机 最基本的函数, 计算多项式函数的值只需用加 和乘运算, 且积分和微分均非常方便。14:05

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代数插值问题考虑区间[a , b]上(n+1)个点a ≤x0<x1<· · · < x n≤b 。

· · + a nx n 如果 P(x)=a0 + a1x +·满足 P(xk)= yk

插值条件

(k = 0,1,…,n)

· · , x n为 插 则称 P(x) 为 插值多项式, 称 x0, x1, · 值节点。

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定理5.1 若插值结点x0, x1,· · · , xn 是 (n+1)个互异 点,则满足插值条件 L(xk)= yk (k = 0,1,…,n)的 次 数小于等于n次的插值多项式

L(x)=a0 + a1x +…+ anxn存在而且唯一。

证明: 由插值条件

L(x0)= y0 L(x1)=y1 · · · · · · · · · · · · L(xn)=yn14:05

n a0 a1 x0 a n x0 y0 n a a x a x 0 1 1 n 1 y1

a a x a x n y 1 n n n n 0

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1 det( A) 1 1

x0 x1 xn

n x0 n x1

0 i j n

( xi x j ) 0

n xn

系数矩阵行列式不等于零, 则方程组有唯一解。因此 插值多项式 L(x) 存在且唯一。 回顾1:非齐次方程组有唯一解的充分必要条件是系数 矩阵可逆(矩阵可逆的充分必要条件是行列式不等于零)。 回顾2: 范德蒙(Vandermonde)矩阵n 1 x0 x0 n x1 x1 1 A n xn xn 1 ( xi x j ) ( x1 x0 )( x2 x0 ) ( xn x0 )( x2 x1 )( x3 x1 )

则det(A)= 14:05

0 j i n

( xn x1 )16/49

( xn 1 xn 2 )( xn xn 2 )( xn xn 1 )