高中数学_2.1.1指数与指数幂的运算课件_新人教A版必修1

指数与指数幂的运算㈠

问题1、 (GDP问题)据国务院发展研究中心2000年发 表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年， 我国GDP年平均增长率可望达到7.3% ,那么， 2001~2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？想一想，1年后，我国的GDP可望为2000年的———倍； 2年后，我国的GDP可望为2000年的———倍； 3年后，我国的GDP可望为2000年的———倍； 4年后，我国的GDP可望为2000年的———倍；…

x年后，我国的GDP可望为2000年的———倍 (x∈N+ ,x≤20)

想一想，正整数指数幂1.073 的含义是什么，它具 有哪些运算性质.

x

a a am n m n n n

m n

(m, n Z )

(a ) a (m, n Z )mn

(ab) a b (n Z )n

问题2、当生物死亡后,它体内原有的碳14会按确定的规律衰 减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半 衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：

1 P=( ) 2

t 5730

考古学家根据此式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14 含量P的值,反之亦然。

想一想，当生物死亡了5730,2×5730, 3×5730 ,6000年，10000 …年后，它体内碳14的 含量P分别为——,——,——,…

思考1:我们已经知道6000 5730

1 2

,( ) ,( ) ,...10000 5730

1 2 2

1 3 2

是正整数

指数幂， 它们的值分别为1/2,1/4,1/8,… 那么， ( 1 ) 2 是什么呢？,(1) 2 ,(1) 2100000 5730

的意义

整数

有理数

实数

根

式

思考2:初中里学的平方根和立方根分别是如何定义的？ 你认为如何来定义n次方根呢？

一般地,如果xn=a(n>1,且n∈N*),那么x叫做a 的n次方根.练习1 1)25的平方根是 ±5

2)27的三次方根是 3 -2 3)-32的五次方根是

0 4)0的7次方根是 ±2 5)16的四次方根是6)a6的三次方根是

a2

通过练习,你能否得到一些一般性的结论?

根

式

1)正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是 一个负数；0的奇次方根是0. 2)正数的偶次方根两个，且互为相反数；负数没有 偶次方根；0的偶次方根是0.

当n为奇数时，x n

n

a (a R)(a 0)

当n为偶数时，x a

0的任何次方根都是0,记作 n 0=0.式子n

a 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.

练习2 求下列根式的值

( 0.1)55

5

( 10)8

8

( 100 ) 2

(1 3 )

5

6

(1 3 ) 6

通过练习,你能得到一些什么结论?

根根式的运算性质

式

⑴当n为任意正整数时，( n a )n=a. ⑵当n为奇数时，n a n =a; a ( a 0) n n 当n为偶数时， a =|a|= . a ( a 0)

根

式).

例1、下列说法中正确的是(

(A)16的四次方根 是-2;(B)正数的n次方根有两个 ；

(C) a的n次方根就是 n(D)n

a

;

a a(a 0) .n

根例2.求下列各式的值. (1) (2

) (3) (4) (5) (6)43

式-2

8

( 10 ) 2

10π-3 a-b |x+y|

(3 ) 4

( a b) 2 ( a b)x 2 2 xy y 2

a2 4 ab 4b 2 ( 9 3

a

<6b)

a 2b 3

思考1:我们容易得到

5

a (a ) a a105 2 5 2

10 512 3

3

a

12

(a ) a a3 4 3 4

那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时， 根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？ 如3

a (a ) a2 3

3

2 3

2 3

a

(a ) a2

1 2

1 2

分数指数幂规定正数的正分数指数幂的意义就是：

a王新敞奎屯 新疆

m n

a (a>0,m,n∈N*,且n>1)n m m n

并规定：

(1)

a

1m n

(a>0,m,n∈N*,且n>1)

a (2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.

分数指数幂对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

a a am n n n

m n

(m, n Q)

(a m ) n a mn (m, n Q) (ab) a b (n Q )n

例如

( )

6000 1 5730 2

( )

600 1 573 2

573

( )

1 600 2

0.484

即生物死亡6000年后，碳14的含量约为原来的48.4 %

分数指数幂 练习 1、求值：

8 ; ;( ) ; ( ) 25

2 3

-1 2

1 5 2

3 16 4 81

2、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0)

a a , a a , a a2 3 3 2

小 一.根 式

结

一般地,如果xn=a(n>1,且n∈N*),那么x叫做a 的n次方根.式子n

a 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.