5 二阶线性微分方程解的结构与通解性质

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§6 二阶线性微分方程解的性质与通解结构二阶线性微分方程的概念 二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构 二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 常数变易法

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一. 二阶线性微分方程的概念定义1: 定义 ： 微分方程d2y dy (1) + b( x ) y = f ( x ) 2 + a( x ) dx dx 称为二阶线性微分方程 ，其中 a ( x ), b( x ), f ( x ) 上已知的连续函数。 都是某区间 I 上已知的连续函数。 方程； 当 f ( x ) ≡ 0 时，称为二阶齐次线性 方程；

当 f ( x ) ≠ 0 时，称为二阶非齐次线 性方程 .f ( x ) 称为齐次项或自由项 .

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二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构设有二阶线性齐次微分方程d2y dy + b( x ) y = 0 2 + a( x ) dx dx

(2)

关于(2)的解，我们有： 关于 的解，我们有： 的解

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定理1 定理1 若 y1 ( x ), y2 ( x ) 是方程( 2)的解，则它们 的解，

的任意组合y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x )

为任意常数。 都是方程(2)的解， 都是方程(2)的解， (2)的解 其中 C1 ,C 2 为任意常数。线性齐次方程的解具有可叠加性。 线性齐次方程的解具有可叠加性。

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说明: 说明:

y = C1 y1( x) + C2 y2( x) 不一定是所给二阶方程的通解 不一定是所给二阶方程的通解 是所给二阶方程的通解.例如, 例如 是某二阶齐次方程的解, 是某二阶齐次方程的解 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 为解决通解的判别问题 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 线性无关概念

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定义2 定义2 设 y1 ( x ), y2 ( x ),L, yn ( x ) 为定义在区间 I 内的 n 个函数，如果存在不全 为零的 个函数， 常数 k1 , k2 ,L, kn,使得对于该区间内的一切 x,有恒等式

k1 y1 ( x ) + k2 y2 ( x ) + L + kn yn ( x ) = 0成立， 线性相关， 成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关， 否则线性无关 线性无关。 否则线性无关。

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例如， 例如，

在( ∞ , +∞ )上都有 ∞ 上都有

上都线性相关 线性相关; 故它们在任何区间 I 上都线性相关 又如， 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 必需全为 0 , 线性无关. 在任何区间 I 上都 线性无关

y1 ( x ) 常数， ≠ 常数， 特别地: 若在 I 上有 特别地 y2 ( x ) 线性无关. 则函数 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关

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上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件 使 存在不全为 0 的 线性相关

线性无关 线性无关

y1( x) k2 ( 无妨设 ≡ y2( x) k1 k1 ≠ 0 ) y1( x) 常数 y2( x)(证明略 证明略) 证明略

思考: 思考 必线性 相关

中有一个恒为 0, 则

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Dec.15 Wed.

Review

1. 二阶线性微分方程d2y dy + b( x ) y = f ( x ) 2 + a( x ) dx dx (1)

f ( x ) ≡ 0,二阶齐次线性

方程； 二阶齐次线性方程；

f ( x ) ≠ 0 ,二阶非齐次线 性方程 .

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2. 线性齐次方程的解具有可叠加性d2y dy + b( x ) y = 0 2 + a( x ) dx dx

(2) 是方程(2)的解， 是方程(2)的解， (2)的解

定理1 定理1 若

y1 ( x ), y2 ( x )

则它们的任意组合： 则它们的任意组合：y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x )

为任意常数。 都是方程(2)的解， 都是方程(2)的解，其中 C1 ,C 2 为任意常数。 (2)的解

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3. 线性相关与线性无关设 y1 ( x ), y2 ( x ),L, yn ( x ) , x ∈ I , 如果存在不全为零 的常数 k1 , k2 ,L, kn,使得对 x ∈ I , 有恒等式

k1 y1 ( x ) + k2 y2 ( x ) + L + kn yn ( x ) = 0成立， 线性相关，否则线 成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关，否则线 性无关。 性无关。 y1 ( x ) 特别地， 常数， 特别地，若有 ≠ 常数， x ∈ I ,则函 y2 ( x ) 线性无关. 数 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.

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定理2 定理2 若 y1 ( x ), y2 ( x ) 是方程( 2)的两个线性无

关的解， 关的解，则：

y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x )的通解， 为任意常数。 就是方程 ( 2)的通解，其中 C1 , C 2 为任意常数。

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对高阶线性齐次方程，有类似定理： 对高阶线性齐次方程，有类似定理： 定理3 定理3 若y1 ( x ), y2 ( x ),L, yn ( x ) 是n阶线性齐次方程 阶线性齐次方程

y ( n ) + a1 ( x ) y ( n 1) + L + an 1 ( x ) y′ + an ( x ) y = 0

个线性无关的特解， 的n个线性无关的特解，则它的通解为： 个线性无关的特解 则它的通解为： 为任意常数。 其中 C1 , C 2 ,L, C n 为任意常数。

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三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构定理4 定理4 设 y1 是非齐次方程

的一个特解，Y 为对应的齐次方程的通解，则 的一个特解， 为对应的齐次方程的通解， 为非齐次方程的通解。 为非齐次方程的通解。

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证明： 由假设知： 证明： 由假设知：Y ′′ + a ( x )Y ′ + b( x )Y = 0

′ ′ y1′ + a ( x ) y1 + b( x ) y1 = f ( x )

将 y = y1 + Y 代入非齐次方程的左端 ，得：( y1 + Y )′′ + a ( x )( y1 + Y )′ + b( x )( y1 + Y )

′ ′ = (Y ′′ + a ( x )Y ′ + b( x )Y ) + ( y1′ + a ( x ) y1 + b( x ) y1 )

= 0 + f ( x) = f ( x) 即 y = y1 + Y 是非齐次方程的解，又 由于 Y 是对应 是非齐次方程的解，齐次方程的通解， 两个独立的任意常数， 齐次方程的通解，含有 两个独立的任意常数， 所 中含有两个独立常数， 故为通解。 以 y 中含有两个独立常数， 故为通解。

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例 已知

′′ y = x 2 yY = C1e + C 2ex x

是对应齐次方程的通解， 容易验证： 是对应齐次方程的通解 容易验证：

y * = ( x 2 + 2)

为该方程的一个特解. 为该方程的一个特解.

故该方程的通解为， 故该方程的通解为

y = y * + Y = C 1e x + C 2 e x ( x 2 + 2 )