2015高考数学(文)一轮总复习课件：2.4 指数与指数函数

第二章 §2.4 指数与指数函数

§2.4

指数与指数函数

最新考纲1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运 算.

3. 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.

4. 体会指数函数是一类重要的函数模型.

最新考纲 基础梳理

第 四 节

自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选

基础梳理1. 根式 (1)根式的概念：若 xn=a(n>1 且 n∈N*) ,则 x 叫做 a 的 n次方根 ，式子 n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)根式的性质： ①( ② n n a)n=a;

a,n为奇数， an= |a|,n为偶数.

2. 有理数指数幂 (1)正分数指数幂：a n = m m

n

am1

(a>0,m,n∈N+且 n>1) ;1 n

(2)负分数指数幂：a- = = (a>0,m,n∈N+且 n>1) ; am n m an 0 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 (3)0 的正分数指数幂等于 . (4)有理数指数幂的运算性质：

ar+s (a>0,r,s∈Q) ; ars (a>0,r,s∈Q) ②(ar)s= ;①aras= ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).

3. 指数函数的图像与性质y=ax a>1 0<a<1

图像

定义域 值域

R (0,+∞)过定点 (0,1) 当 x<0 时，0<y<1;

性质

当 x>0 时，y>1; 在(-∞,+∞)上是增函数

当 x>0 时，0<y<1; 当 x<0 时，y>1; 在(-∞,+∞)上是减函数

拓展延伸1. 指数函数图像的三个关键点 画指数函数 y=ax 的图像时应抓住图像上的三个关键点： ( 1, a) (0, , 1 1) , -1, . a 2. 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转 化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 3. y=ax,y=|ax|,y=a|x|(a>0 且 a≠1)三者之间的关系 y=ax 与 y=|ax|是同一函数的不同表现形式.函数 y=a|x|与 y=ax 不同， 前者是一个偶函数，其图像关于 y 轴对称.

自主测评1. 判断下列命题是否正确. ( 1) ( ( 2) n a)n= n an.( ) ) ) )

3

-8 没有意义.(

(3)函数 y=a-x 是 R 上的减函数.( (4)函数 y=ax 过定点(0,0).( (5)函数 y=2x-1 是指数函数.( )

解析： (1)错误.(为偶数时， n

n

n a)n=a;当 n 为奇数时， an=a;当 n

an=|a|.

(2)错误.n 为奇数， 函数.

3

-8有意义，且等于-2.

(3)错误.当 a>1 时，函数是 R 上的减函数；当 0<a<1 时，函数是 R 上的增 (4)错误.指数函数过定点(0,1) ,不经过(0,0). (5)错误.y=2x-1= 1 2 ·2x,不符合指数函数的定义.

2.(教材改编)化简 A. 12 m7 (-m)7

3

m·

4

-m等于( C ) (-m

)7 m7

B.

12

C. -解析：

12

D. -

12

1

1

1

1

1 1

由已知可得 m≤0,∴原式=m3·(-m)4=-(-m)3·(-m)4 =-(-m)3+4 7 =-(-m)12=- 12

(-m)7,选择 C

1 x 3. (教材改编) 在同一坐标系中， 函数 y=2x 与 y= 的 2 图像之间的关系是( A ) A. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称解析：

B. 关于 x 轴对称 D. 关于直线 y=x 对称

1 x ∵y= =2-x, ∴它与函数 y=2x 的图像关于 y 轴对称.选择 2 A

4.(教材改编)指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上1 3 的最大值与最小值的差为 ，则 a= 2或2. 。

a

2

解析：

当 a >1

时，y=ax 是增函数，∴a2-a= a

3 ,即 a= ;当 0<a 2 2

a

1 1 3 <1 时，y=ax 是减函数，∴a-a2= ,即 a= ,∴a= 或 . 2 2 2 2

5.(2013·宜昌调研)设函数 f(x)=a-|x|(a>0 且 a≠1) ,若 f(2)=4, 则 f(-2)与 f(1)的大小关系是 f(1)>f(- . 2)

解析：由 f(2)=a-2=4,解得 1 a= , ∴f(x)=2|x|,∴f(-2)=4>2=f(1). 2

题型分类 ·典例研析 题型1 ·指数幂的化简与求值例 1: 计算与化简： (1) a-4b2· 3 ab2(a>0,b>0) ;

1 1 (2)已知 a2+a- =3,求 a+a-1,a2+a-2 的值. 2规范解答：

(

1

) 1

a-4b2

3

ab2

=

1 2 a-4b2(a3b3)

=

2 a-4+ b2+ = 3 3

11 8 11 4 a- b3=a- b3.(4 分) 3 6

(2) (a2+a- )2=a+2+a-1=9,∴a+a-1=7, 2 (a+a-1)2=a2+2+a-2=49,∴a2+a-2=47.(8 分)

1

1

规律总结：关于指数式的运算，主要技能是熟练运用指数幂的各种运算性质，以及 分子、分母有理化等技巧.对于分数指数幂的运算，需注意： (1)化简原则： ①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④注意运 算的先后顺序.(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表 示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；③结果 不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.

迁移发散1(1)化简： 3 xy2· xy-1· 1 xy(x,y 均为正数) ;

1 1 1 7 27 - 0 -1 ( 2) 化简： (0.008 1) - - 3× × 81-0.25+ -3 2-10×0.0273; 8 4 8 (3)设 2a=5b=m,且 1 a + =2,求 m 的值. b 1

规范解答：(1)

3

xy2·

xy-1· xy

11 1 =[xy2· (xy-1)2]3·(xy)2 1 1 1 3 3 1 1 1 =(xy2x2y- )3x2y2=(x2y2)3x2y2 2 1 1