“反思“让学习更有效——由一道中考题说起

1 “总结反思“让学习更有效

作为数学教师，经常要面对这样的疑惑：有的学生学习很努力可数学成绩为何上不去啊？一道中考试题带给我新的教学启示：善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好。某一天小迪有20分钟时间可用于学习。假设小迪用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益y 的关系如图2所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间。

（1）求小迪解题的学习收益量y 与

用于解题的时间x 之间的函数关系式；

（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与

用于回顾反思的时间x 的函数关系式；

（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，

才能使这20分钟的学习收益总量最大？

本题是一道函数应用题，就题目解题思路与方法而言，并没有特别之处，但题目所蕴涵的现实意义却留给我们很多的思考：解题的效益与时间成正比，但是对于解题后的反思在短时间内产生的效益却远远超过前者。这就让我联想到，如果我们每天在解题之余，引导学生用三至四分钟的时间进行反思，那效果不就很好？如果再将这种意识运用到整个数学学习中，从而让学生形成自己的反思性学习方法，显然能达到事半功倍的效果。在以下的几个案例中，我们不妨来体会反思带来的非同寻常的意义。

案例1：（浙教版九年级上册第109页习题2）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=900 ，CD ⊥AB 于点D ，试写出图中的相似三角形.

这个题目对于大部分同学来讲还是非常普通，也是很基础的，

但如果我们将这个题目略加改动，可能达到的效果就完全不同了。

如：把结论删去，改编为：根据已知条件，结合图形你能得出哪些

结论，并进行简单说理。这样此题就成为一个开放性题目了。结

论也就不唯一了。如：角方面（1）∠1=∠B ，∠2=∠A ；三角形

方面（2）△ACD ∽△CBD ，△ACD ∽△ABC ，△ABC ∽△CBD ；

线段方面（3）CD 2=AD·BD ， AC 2=AD·AB ， BC 2=BD·AB ，（虽

然在教材中射影定理已经不做要求，但结论本身的证明完全可以

让学生解决）。

经过老师的引导与学生的参与，使一道单一的几何题变成一道丰富的探究题。进一步讨论：上面的结论可解决什么问题呢？勾股定理的证明（AC 2 + BC 2 =AD·AB+ BD·AB= AB 2），用面积法求斜边上的高（AC ·BC=AB ·CD ）等。再深层次讨论：如果将条件和结论互换之后，是否仍然成立？（即求相应命题的逆命题，并判别是真命题还是假命题）

如：（1）已知，如图，在△ABC 中，∠2=∠A ，AC 2=AD·AB

求证：CD ⊥AB ，AC ⊥BC 。（真命题） （2）已知，如图，在

△ABC 中，∠1=∠B ，∠2=∠A ； 求证：CD ⊥AB ，AC ⊥BC

。

（图1） （图2）

2

B

（真命题） （3） 已知，如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，AC 2=AD·AB 。 求证：CD ⊥AB ，CD 2=AD·BD ，（真命题） （4）已知，如图，在△ABC 中，BC 2=BD·AB ， AC 2=AD·AB 。 求证：CD ⊥AB ，AC ⊥BC （真命题）。 （5） 已知，如图，在△ABC 中，∠1=∠B ， AC 2=AD·AB 。 求证：CD ⊥AB ，AC ⊥BC （假命题）。……

在学生发现、猜想、探索、验证的思维过程中，教师不但指引学生反思学过的知识，而且也让学生得到了不同层次的思维训练，体验了成功与满足。这说明了教师在精选练习中，要给学生足够的时间，让他们在练习的基础上，勇于反思，敢于提出不同的见解，引导学生自编自做一道题与会做一类题，在思维层次上得到提高。

案例2：在学习解直角三角形这一章节时总会遇上大量的实际应用问题，其中涉及到的许多内容都是解一般的三角形。学生如果只是一味的埋头解题，而不知适时进行反思类比总结，他始终会觉得该知识块变化无常，让人琢磨不透。的确，应用性的问题在出现的形式和已知的条件方面可以多种多样，如果就题论题，那结果可想而知。事实上，综合此类应用问题，追究其数学本质的模型，便是通过作高构造直角三角形的方法解一般三角形，且一般都可以找到以下两种基本模型：

⑴AB 将△ACD 分割成两个直角三角形，BC 和BD 分别是Rt

△ABC 和Rt △ABD 的两条直角边，可以用AB 及∠C 和∠D 的三

角函数值来表示CD ，即有

D AB C AB CD ∠+∠=tan tan ⑵AB 将△ACD 补成成两个直角三角形，BC 和BD 分别是

Rt △ABC 和Rt △ABD 的两条直角边，同样可以用AB 及∠C

和∠D 的三角函数值来表示CD ，即有

D AB C AB CD ∠-∠=tan tan 以上关系式理清了一般三角形边角之间的关系，为学生解题指明了基本方向，只要多加留意已知条件，顺藤摸瓜，不难从实际问题中发现并抽象出这种数学模型，便于清理思路，解决问题。在实 际的教学过程中，教师总是会在适当的时候引导学生总结这一点，但如果总是教师单方面的总结，效果并不是很理想，只有学生在解题过程中不断的总结反思，才会有明显的效果。

案例3：学习一元二次方程根的判别式时，部分学生出现了这样的问题；

题目：关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是多少？ 学生解法：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即 22+4k ＞0，解得：k ＞-1

所以k 的取值范围是k ＞-1

这应该是典型的错误，原因是本节课的重心是学习一元二次方程根的判别式，他们把主要的注意力集中在如何运用一元二次方程根的判别式，没有考虑一元二次方程概念中的限制条件，因此就出现了顾此失彼的情况，于是教师可引导学生作如下反思：

（1）错误原因是什么？（判别式的判别只适用于一元二次方程，而a=0时不适用。）

B

（2）如何正确求解？（本题：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即22+4k＞0，解得：k＞-1，又因为一元二次方程kx2-2x-1=0中k≠0，故k的取值范围是k＞-1且k≠0。）针对性练习：关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是多少？（我出了一题，就是在原题上略加改动，删去了几个字，还有意对“方程”打了条下划线）

解：当k≠0时△≥0，即22+4k≥0，解得：k≥-1，

故当k＝0时是一元一次方程，方程也是有解的，符合题意。故k的取值范围是k≥-1 （3）以后如何避免错误？（以后在做此类题目时，一要读清楚题中条件，二是结论的适用范围要清晰，三是解题的前后要等价。）

学生自我反思是学生自我认识的基本手段，是学生自我发展、自我完善的过程。有效的反思有利于激发学生学习的内在动因，有利于提高学习的积极性和主动性，有利于促进他们不断的发展，更有利于学生在学习过程中，针对自己的学习行为进行不断地检查和调整，形成良好的自我调整的学习机制，成为一个真正会学习的人。

玻利亚曾指出：掌握数学就是善于解题，把教会学生解题看作是教会学生思考，培养学生独立探索能力的一条主要而有效的途径。我们在平时的例、习题教学中要给学生一些思考的余地，引导学生对例、习题进行一些创新和拓展。在学习中反思，在反思中进步。毕竟，良好的学习习惯是终身受益的。

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