高一数学课件：1.2.2 空间两条直线的位置关系(2)

1.2.2 空间两条直线的位置关系(2)

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1.空间两直线的位置关系.

位置关系 相交平行2.平行公理. 3.空间等角定理.

共面情况 在同一平面内不同在任一平面内

公共点个数有且只有一 个 没有

异面

对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？

1.异面直线的定义. 空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线.异面直线 不平行也不相交. 2.异面直线的画法 A

B

n m

l

nm

n

m

画异面直线一定要依托于平面.

D1 A1B1

C1

DA B

C

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线中，与直线AA1是异面的 CD, BC, B1C1, C1D1 . 有________________________ 与 异面 B1C的位置关系是____________ . 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，相邻两个侧面的对角线A1B

在空间四边形中，各边所在直线异面的共有几对？

A

D

练习：

B

C

用反证法证明：空间四边形ABCD的对角线AC,BD是异面直线 .

例1.求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线 是异面直线. A B 已知：A ,B ,B l,l . 求证：直线AB 和l是异面直线. 定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是 异面直线.

l

符号表示：若A ,B ,B l, l ,则直线AB与l是异面直线.

—— 两点一线一面 判定两条直线是异面直线的常用方法： 反证法.

练习： 判断正误： ①若a ,b ,则a,b为异面直线 .

②若a⊥b,b⊥c ,则a∥c .③若a,b为异面直线， b,c为异面直线，则a,c也为异面直线 . ④若a,b共面，b,c共面，则a,c也共面 .

⑤一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行 .

小结：异面直线的判定： ① 利用定义；

② 判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过 该点的直线是异面直线. 符号表示：若A ,B ,B l,l ,则直线AB与l是异面直线. —— 两点一线一面 ③ 常用方法：反证法.

定量

——异面直线所成的角

①空间内O点“任取”,说明角的大小与点O的位置选取无关，只

由两直线的相对位置所确定；②a ,b 相交，转化为平面内两相交直线所成的角进行度量， 立体问题平面化；

③{ |0º < ≤90º }.b O a a

b

a

特别地： =90º 时，称两条异面直线互相垂直.记作：a⊥b. * 空间两直线互相垂直，不一定有垂足. 异面直线互相垂直一定没有垂足.

例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角 (1)A1B与C1C; (2)AC与B1D1; (3)AC与BC1 (4)A1B与B1D1. A1

转化为平面角

D1 B1

C1

D A 主要步骤：①构造平面角； ②证明； ③求角计算.

C

O

B

练习.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N分别为所在棱 的中点，求下列各对异面直线所成的角. (1)EF与MN; (2)EF与BD1. D1 C1 A1 P N C M B1 L * 中位线

D A

OE

B

F

例2.空间四边形ABCD中，E,F分别是对角线BD,AC的中点， (1)若BC=AD=2EF,求直线EF与AD所成角的大小. (2)若AB=8,CD=6,EF=5,求AB与CD所成角的大小. A

F E

D

B

C

练习： 1.指出下列命题是否正确，并说明理由. ①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. ③若a∥b,c⊥a则b⊥c. ④若c⊥a,b⊥c则a∥b. ⑤分别与两条异面直线a,b都相交的两条直线c,d一定异面.

2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1所成角为60 的面对角线 D1 有 条 C1A1 B1

D A B

C

3.已知不共面的三直线a,b,c相交于点O,M,P是a上两点，N,Q分别 在b,c上 .求证：MN,PQ异面. a P M c Q N b

O

4.如图在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点. ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②若AC=BD,求证：四边形ABCD是菱形； ③当AC与BD满足什么条件时，四边形ABCD是正方形? A E

H D

BF C

G