第5章 李雅普诺夫稳定性分析

第5章 李雅普诺夫稳定性分析

第五章 李雅普诺夫稳定性分析稳定性是系统的重要特性，是系统正常工 作的必要条件。 描述系统的稳定性有两种方法： 外部稳定性：通过系统的输入—输出关系来 描述系统的稳定性。 内部稳定性：通过零输入下的状态运动的响 应来描述系统的稳定性。(本章研究重点)1

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稳定的现象不 稳 定 的 摆

稳 定 的 摆

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在研究运动的内部稳定性时，为体现出系统自

身结构的特点，常限于研究没有外部输入作用时的系统。也就是说内部稳定性表现为系统的零输入响 应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的更 一般性理论，不仅适用于线性定常系统，而且适 用于非线性、时变系统。3

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李雅普诺夫第一法(间接法):利用线性系统 微分方程的解来判断系统稳定性。由于间接法需要 解系统微分方程，并非易事，所以间接法的应用受 到了很大的限制。 李雅普诺夫第二法(直接法):先利用经验和 技巧来构造李亚普诺夫函数，再利用李雅普诺夫函 数来判断系统稳定性。直接法不需解系统微分方程， 给判断系统稳定性带来极大方便，获得广泛应用。

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第五章 李雅普诺夫稳定性分析5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析

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5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性1.自治系统没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:

f ( x, t ) x式中：x为n维状态向量，f(x,t)为线性或非线性、 定常或时变的n维函数。具体为n个一阶微分方程：

i fi ( x1, x2 , , xn , t );i 1, 2, , n x6

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2. 受扰运动假定自治系统状态方程 f ( x, t ) x

是满足解的存在且唯一性条件的，则可将系统 由 t0 初始时刻的初始状态 x0 所引起的运动(即 状态方程的解)表为：

x(t ) x( t; x0 , t0 )则初始状态 x0必满足 x(t0;x0,t0)=x0 。由于这一运 动是由初始状态的扰动引起的，因此常称其为 系统的受扰运动。7

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3. 平衡状态(※) e f ( xe , t ) 0 的状态x 称 对于所有t,满足 x e 为平衡状态。

若已知系统状态方程，令 x 所求得的解x, f ( x, t ) 0 就是平衡状态。 在大多数情况下，xe=0即状态空间原点为系统的一 个平衡状态。此外系统也可以有非

零平衡状态。 系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性， 也即偏离平衡状态的受扰运动能否依靠系统内部的 结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个 有限邻域内。8

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4. 李雅普诺夫意义下的稳定性若对于任意实数 ε>0 ,都存在一个实数 δ(ε,t0)>0 , 使得从满足不等式|| x0 xe || ( , t0 )

的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式|| x(t; x0 , t0 ) xe || , t t0

则称系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的.

式中： 为欧几里得范数，其几何意义是空间距离的尺度。9

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该定义的几何含义是：设系统初始状态x0位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即|| x0 xe || ( , t0 )

若能使系统方程的解 x(t;x0,t0) 在 t→∞ 的过程中，都位 于以xe为球心，任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内， 即|| x(t; x0 , t0 ) xe || , t t0

则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。

在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时 刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ,而和t0的选取无关， 则称平衡状态是一致稳定的。 10

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5. 渐近稳定性若系统的平衡状态 xe 不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有t

lim || x (t; x0 , t0 ) xe || 0

则称此平衡状态xe是渐近稳定的。 经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。

若 δ与 t0 无关，且上式的极限过程与 t0 无关，则称平衡状态是一致渐近稳定的。 从工程观点而言，渐近稳定更为重要。渐近稳定 即为工程意义下的稳定，而李雅普诺夫意义下的稳 定则是工程意义下的临界不稳定。 11

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6. 大范围(全局)渐近稳定性如果对于任意初始状态x0 ,都能保证t

lim || x (t; x0 , t0 ) xe || 0

成立，则称系统的平衡状态 xe 是大范围渐近 稳定的，也称为全局渐近稳定。

也就是说当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态 xe 均具有渐近稳定时，称此 平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 大范围渐近稳定系统只能有一个平衡状态。12

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7. 不稳定性如果对于某个实数 ε>0和任一实数δ>0,不管 这两个实数有多么小，在S(δ)内总存在着一个状 态x0,使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε) ,则

平衡状态xe就称为是不稳定的。

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S ( )

x2

S ( )xe x1

x2 x0 x1

xe x0

S ( )xe 李雅普诺夫意义下稳定

S ( )xe 渐近稳定

xe

x2 x0 x1

S ( )xe

x2 x0 x1

S ( )xe 不稳定

xe 全局渐近稳定

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5. 2 李雅普诺夫第一法(间接法)间接法利用状态方程解的特性来判断 系统的稳定性；它适用于线性定常、线性 时变以及非线性函数可线性化的情况。对

于线性定常系统，可使用其特征值来判断系统稳定性。

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定理9-9 ※: 对线性定常系统 x Ax,x(0) x0,t 0 , 有 1 )系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫意义下 稳定的充分必要条件为： A的所有特征值均具有 非正 ( 负或零 ) 实部，且实部为零的特征值是 A 的 最小多项式的单根。

2 )系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值均具有负实部。16