正四棱台体积公式

棱台体积公式

一基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※

朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004）

对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。

1 教学案例：正四棱台体积公式

1.1提出问题

师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a，上底面边长为b，高为h，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。

生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x，则V V大正四棱锥 V小正四棱锥=12111a(h x) b2x a2h (a2 b2)x ）。我做不下去了。 3333

1.2类比、猜想、实验

师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下

正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。

121a b2h，因为梯形面积公式为S a b h。 22

1212生3：我觉得应该是V a bh，因为正四棱锥体积公式中有系数，且当b 0时，33

11V a2 b2h a2h,即为正四棱锥体积公式。 33

师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长0.2米，下底

1边长0.3米，高0.2米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为V 0.04 0.09 0.2 0.013立方2

1米，由生3的公式得V 0.04 0.09 0.2 0.00867立方米。我们再把沙子倒入底面边长为0.2米的柱3

形容器，量一下，高为多少？约为0.315米，体积约为0.0126立方米。看来上面两个公式都不是很准确。 生2：我想V ———————

※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。

棱台体积公式

1，是因为括号内只有a、b两项。那么，如果正四棱台体积公式系数2

112222取，则括号内应有三项，除了a、b我想还应有ab，也即V a ab bh，计算33

11V 0.04 0.06 0.09 0.2 0.0126。这与我们的实验结果一致。另外，当b 0时，V a2h是正33生4：梯形面积公式中系数是

四棱锥的体积公式；当h b a时，V a是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。3

1.3推导公式

师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。

生5：(如图1)S

a

h

babh1S2平行四边形=1 a b h。 2x

（图1） （图2）

生6：（如图2）设小三角形高为x，大三角形高为x h，因为这两个三角形相似，所以

即x bx ，ax hbh111111bh1) (a b)h 。 。S a x h bx ah (a b)x ah (a b)(a b222222a b2

111生7：（如图3）S ah bh (a b)h。 222

b

h

a=h+hb

（图3） 生8：（如图4）S

b

h

=a-b11(a b)h bh (a b)h。 22bh+hb

（图 4） （图5）

师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？

生9：（如图5）S S三角形=h1(a b)h。 2

师：接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法，第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生9的方法推导。（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。当第四小组完成其推导后，教师再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。上底面边长分别为a、b，下底面边长分别为c、d，高h，求其体积。）

棱台体积公式

1.4展示成果

第一组（生10）：我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。

第二组（生1）：刚才我做不下去，现在我会了。（继续 121bh1ah (a2 b2)() a2h 33a b3

11(a b)bh (a2 ab b2)h。 33

第三组（生11）：我们将正四棱台分成五个棱锥A、B、C、D、E：（如图6） A

ACCCDC'D'

A'B'A'B'B'

（A） （B） （C） （D） （E）

（图6）

121ah，VD VE 2VD b2h。对于锥体C（如图7），我们取AC中点O，33

1连结B`O、D`O,容易看出AC⊥ 面B`OD`。取B`D`中点O`，连结OO`，则OO`⊥B`D`。所以，VC S三角3

111112ah2b abh。由此得V

VA VB VC VD VE B`D`hAC=形B`OD`AC 32323

1 (a2 ab b2)h。 3其中VA VB 2VA

'BEHDF

（图7） （图8）

第四小组（生12）：我们将正四棱台切割成九部分（如图8）：(1)一个长方体E，其底面是边长为b的正方形，高为h，体积为bh.(2)四个棱锥A、C、G、I，可以拼成一个大的四棱锥J，起底面是边长为(a b)的正方形，高为h，体积为(a b)h。(3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为b、2132(a b)1 、h的长方体K和L，体积均为b(a b)h。所以，（如图9）V VE VJ VK VL 22

11 b2h (a b)2h b(a b)h，整理得 V (a2 ab b2)h。

33

（E） (J) (K) (L)

（图9）

生13：同样方法可以求出思考题中四棱台体积

棱台体积公式

111V abh (d b)(c a)h (c a)bh (d b)ah 322

1 h(6ab 2dc 2bc 2da 2ba 3bc 3ba 3da 3ba) 6

11 h(2dc bc da 2ba) h (2b d)a (2d b)c 。 66

hh12222当a b、d c时，V (2a c)a (2c a)c (2a ac 2c ac) (a ac c)h。 663

生14：利用类似生9的方法来推导比较繁杂，我用图示的方法来说明。为了使大家看得清楚，我把它先分成四等分，且选择其中一块（如图10）。把这一块分成三部分，这三部分又可以拼成一个不规则图形，这个图形的体积可以通过补形法求得。

（图10）

11a b2h11a b2 1a b2V 4 ()h () ()323222322 h 2

1 a b21a b2 () () h (a2 ab b2)h。 323 2

1.5教师总结

上面几位同学向大家展示了他们的研究成果，非常出色。同学们可能不知道，这个公式在距今四千年前就已经被古埃及人所掌握。成书时期约在公元前1850年的一册古埃及数学课本中就记载了一道计算正四棱台体积的问题。数学史家贝尔称这个问题为“最伟大的埃及金字塔”，在他看来，这个问题中涉及的归纳算法较之今日仍旧巍然耸立的任何一座由巨石堆砌而成的古埃及金字塔要雄伟的多。

那么古埃及人是如何得到这一公式的呢？我们现在已经无法知道这个公式的确切来源了。第三组同学展示的推导方法简洁优美，并且公式与图形联系紧密，我们可以猜测古埃及人可能是通过这种方法得到的。

在我国古代，《九章算术》给出了刍童（即两底是长方形的正四棱台）的体积公 …… 此处隐藏：3803字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……