7讲2.7分块矩阵的概念及运算

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分块矩阵 2.7.1 分块矩阵的概念2.7处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵, 矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的 子块. 子块. 定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵. 以子块为元素的矩阵称为分块阵 分块阵.1

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常用分块方式分成四块.例如: 分成四块.例如:

a11 a12 a13 a14 a a a a = A11 A = 21 22 23 24 A 21 a31 a32 a33 a34 特殊 A ——视为一个子块 视为一个子块 aij ——视为一个子块 视为一个子块

A12 A22

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按列分块.例如: 按列分块.例如: a11 a12 a13 a14 a a a a = [α α α α ] A = 21 22 23 24 1 2 3 4 a31 a32 a33 a34 按行分块.例如: 按行分块.例如: a11 a12 a13 a14 β 1 a a a a = A = 21 22 23 24 β 2 a31 a32 a33 a34 β 3 3

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分块对角矩阵 A1 A2 A= As

分块三角矩阵 * A1 * A2 A= As 4

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2.7.2

分块矩阵的运算

加法: 加法: 原矩阵同形且分块方式相同

A+ B = ( Aij )s×t + (Bij )s×t = ( Aij + Bij )s×t数乘: 数乘: 分块方式任意

kA = k( A )s×t = (kA )s×t ij ij5

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乘法: 乘法: AB =C ( Am×p , Bp ×n ) A的列数 = B 的行数 A的列的分法 = B 的行的分法 A A t B11 B1r 11 1 , B = A= As1 Ast Bt1 Btr

Cij = Ai1B1 j + Ai 2B2 j + + Ait Btj= ∑ Aik Bkj , i = 1, , s; j = 1, , r .k =16

t

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例1

1 0 0 0 E = 0

0 2 0 7 0 2E 2E B = A B A22 21 22 21 7

0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 2 1 0 0 3 0

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A11 A1t 转置: 转置: A = As1 Ast T A11 AsT1 T T T A = ( Aij ) = T A1Tt As t

A1T A1 T 特别 [ A1 At ] = ≠ AtT A t

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方阵的幂及行列式: 方阵的幂及行列式: 当Ai是方阵时， 是方阵时， 分块对角矩阵的行列式) (分块对角矩阵的行列式) m m A1 A1 m (m ∈ N ) A2 A2 = , m As As

A1 A2 As = A1 A2 As .9

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分块三角阵的行列式: 分块三角阵的行列式:

* A1 A2 * A= , 当Ai是方阵时， 是方阵时， As A = A1 A2 As10

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对角阵的逆矩阵: 对角阵的逆矩阵: 当|Ai|≠0时,即Ai可逆时,A可逆 可逆时, A1 1 A1 1 A2 A2 =

1 As As 1 A1 As 1 1 A2 As 1 = A1 1 As 11

1

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1 4 例2 设 A = 0 0 1 0 4 2 解 A= 0 0 0 0

0 0 0 2 0 0 1 ,求 A 及 A 0 3 4 0 0 1 0 0 1 0 3 4 0 0 = =2 × 3 = 6 3 4 4 2 0 1 0 112

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1 4 1 A = 0 0

0 2 0 0

0 0 3 00 1 2 0 0

0 1 0 1 0 0 4 2 = 1 4 3 4 0 0 1 1 0 0 1 3 0 0 0 4 3 1 13

1

1 2 = 0 0

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例3 设 A, B ∈ M 3 , A = 3, B = 2. 求3A 0 1. = 3 A 5 B AB 5 B

= 3 A ( 5) B = 2 3 53 3

4

3

0 3A 0 3×3 3A 2. = ( 1) = ( 1)3×3 3A AB AB 5 B 5B AB

= 3 A ( 1) A B = 2 33 3

5

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尤其要注意 Am× p B p×n = 0 时的特殊情况: 时的特殊情况:

*例4 AB = A(B1, B2 , , Bn ) A为一子块 为一子块 = ( AB1 , AB2 , , ABn ) = (0, 0, , 0) AB j = 0, j = 1, , n.说明B 说明B 的每一列都是齐次线性方程组 AX= 0 的一个解. 的一个解.15

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例5

Am× p B p×n = C m×n 的不同理解: 的不同理解:

(1) AB = A(B1, B2 , , Bn ) = ( AB1 , AB2 , , ABn ) C = (C1, C2 , , Cn ) AB j = C j , j = 1, , n A AB C1 1 1 A A B C 2 B= 2 = 2 = C (2) AB = Am AmB Cm

Ai B = C i , i = 1, , m16