专题6.1 数列的概念与简单表示法(教学案)-2014年高考数学(理)一

【2014考纲解读】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 【重点知识梳理】

1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：

①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：

(3)数列的通项公式：

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

2．数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．

【特别提醒】 1.对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

2．数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．

【高频考点突破】

一、由数列的前几项求数列的通项公式

1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n

＋1

来调整．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．

例1、下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．an＝1 nπ

sin C．an＝2－ 2

1 n＋1－

B．an＝

21 n1＋3－

D．an＝

2

－

考点二、由an与Sn的关系求通项an

已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

例2、已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an. (1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. 考点三、数列的性质 1．数列中项的最值的求法

根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．

2．前n项和最值的求法

(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；

(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.

例3、已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20. (1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)n为何值时，该数列的前n项和最小？ 【经典考题精析】

（2013·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．

图1－3

（2013·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

a

p3：数列 n是递增数列；

p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为( )

A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4

（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

（2012·重庆卷）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0. (1)求证：{an}是首项为1的等比数列；

n

(2)若a2＞－1，求证：Sna1＋an)，并给出等号成立的充要条件．

2

（2012·上海卷）对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.

(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值； (2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；

(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式． （2012·浙江卷）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0 D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列 【当堂巩固】

1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于 A．1

B．－1

C．2

D．0

( )．

2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是 ( )． A．递增数列 C．常数列

B．递减数列 D．摆动数列

( )．

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝ A．－16

B．16

C．31

D．32

4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( )．

A．2 020×2 012 C．1 010×2 012

B．2 020×2 013 D．1 010×2 013

( )．

15．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 013＝

xn＋1

A．－1

1B．－

2

1 2

D．1

6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋1

(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n，则数列{an}为( )．

n

A．等差数列 C．递增数列

B．等比数列 D．递减数列

7．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013

＝________.

3－ax－3，x≤7，

8．设函数f(x)＝ x－6数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则

a，x>7，

实数a的取值范围是________．

9．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．

10．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________. 111

11．(12分)在数列{an}中，a1＝1n＝an－1＋n≥2)，求{an}的通项公式．

1243

1

12．(13分)(2013·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝2

1

(1)求证： S成等差数列；

n

(2)求数列{an}的通项公式．

13．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1 …… 此处隐藏：1931字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……