1-5 极限的运算法则

第五节 极限的运算法则一、无穷小的运算性质 二、极限的运算法则 三、求极限方法举例

四、复合函数的极限运算法则

一、无穷小的运算性质定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证 设 及 是当x 时的两个无穷小 ,

0, N 1 0, N 2 0, 使得 当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )

注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 1不是无穷小 . n 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证 设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，

则 M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .

又设 是当x x0时的无穷小 , 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M

取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x

二、极限运算法则定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则

(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.

f ( x ) A ,

g( x ) B . 其中 0, 0.

由无穷小运算法则,得

[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B ) 0.

( 2)成立.

f ( x ) A A A B A B A 0. 令 g ( x ) B B B B( B )1 下证 在x0的某领域内有界即可。 B( B )

因为lim g( x ) B,所以由第三节定理3 知

B 0, 当0 x x0 时, 有 g( x ) . 2 1 2 B 即 B , B( B ) B , 2 21 2 故 2, B( B ) B

有界，

( 3)成立.

推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则

lim[cf ( x )] c lim f ( x ).常数因子可以提到极限记号外面. 推论2

如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .

定理4 设有数列 xn , yn ,如果

lim xn A, lim xn B ,则有 (1) lim( xn yn ) A B;n

n

n

(2) lim( xn yn ) A B;

xn A (3) 当yn 0( n 1, 2, )且B 0时， lim . n y B n定理5

n

如果 ( x ) ( x ), 而 lim ( x ) a,

lim ( x ) b, 那

么a b.

三、求极限方法举例x3 1 例1 求 lim 2 . x 2 x 3 x 52 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x 2 x 2 2 x 2

(lim x ) 2 3 lim x lim 5x 2 x 2 x 2

2 2 3 2 5 3 0,3 x 1 2 1 7 x 2 x 2 2 lim 2 . x 2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3 x 2

3

lim x 3 lim1

小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有x x0

lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a nx x0n

x x0

a0 x0 a1 x0

n 1

a n f ( x0 ).

P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )

P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )x x0 x x0

lim P ( x )

若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用 .

4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3解 lim( x 2 2 x 3) 0,x 1

商的法则不能用

又 lim(4 x 1) 3 0,x 1

x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3由无穷小与无穷大的关系,得

4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3

x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 32

0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 型) 0先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)

x 1 1 . lim x 1 x 3 2

(消去零因子法)

2x3 3x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1解

x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 ) 5 x3 2. 1 7 x3

先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限.

3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x

(无穷小因子分出法)

小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有

a0 , 当 n m , b 0 m m 1 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m , 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.

练习

x +2 设 lim( +ax b) 2, 求a、b. x x 12

2

解

x 2 ax x 1 b x 1 左边 lim x x 1 2 1 a x a b x 2 b lim x x 1

商的极限存在，必须

1 a 0解得

a b 2 a 1 , b 3,

.