高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 章末小结 知识整合与阶段检

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[对应学生用书P46]

1．虚数单位i

(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．

(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．

(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋

3＝0(n ∈N *)． 2．复数的分类

复数

(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R)??? 实数(b ＝0)

虚数(b ≠0)?

???? 纯虚数(a ＝0，b ≠0)非纯虚数(a ≠0，b ≠0).

3．共轭复数的性质

设复数z 的共轭复数为z ，则

(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；

(2)z 为实数?z ＝z ，z 为纯虚数?z ＝－z .

4．复数的几何意义

5．复数相等的条件

(1)代数形式：复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)?a ＝c ，b ＝d .特别地，a ＋b i ＝0(a ，b ∈R)?a ＝b ＝0.

注意：两复数不是实数时，不能比较大小．

(2)几何形式：z 1，z 2∈C ，z 1＝z 2?对应点Z 1，Z 2重合?1OZ 与2OZ 重合．

6．复数的运算

(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．

(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．

[对应学生用书P65]

(时间：120分钟，总分：160分)

一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)

1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.

解析：∵z 1＝2＋i 在复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ，

∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.

答案：－5

2．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________.

解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

答案：3＋4i

3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．

解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，

∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )

＝3＋4i 5＝35＋45i ， ∴z 的虚部是45

. 答案：45

4．已知m 1＋i

＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________． 解析：m 1＋i

＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ， 因为m ，n ∈R ，

所以????? 1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以?????

n ＝1，m ＝2， 即m ＋n i ＝2＋i.

答案：2＋i

5．定义运算??????

a b c d ＝ad －bc ，则满足条件??????1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 解析：????

??1 －1z z i ＝z i ＋z ， 设z ＝x ＋y i ，

∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，

∴????? x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴?????

x ＝3，y ＝－1. ∴z ＝3－i.

答案：3－i

6．在复平面内，复数2－i 1＋i

对应的点位于第________象限． 解析：2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 12＋12＝12－32

i ， 对应的点位于第四象限．

答案：四

7.5(4＋i )2

i (2＋i )

＝________. 解析：5(4＋i )2i (2＋i )＝5(15＋8i )－1＋2i ＝5(15＋8i )(－1－2i )(－1)2＋22

＝1－38i.

答案：1－38i

8．设a 是实数，且a 1＋i

＋1＋i 2是实数，则a 等于________． 解析：∵a 1＋i

＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝????a 2＋12＋(1－a )2i 是实数， ∴1－a 2

＝0，即a ＝1. 答案：1

9．复数z 满足方程???

?z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 解析：???

?z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，

因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆． 答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆

10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________.

解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，

故z i ＝4，∴z ＝4i

＝－4i. 答案：－4i

11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i

，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，

∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ，

101－2i ＝10(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝10(1＋2i )12＋22

＝2＋4i ， ∴??? a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得?????

a ＝3，

b ＝4. ∴z ＝3＋4i.

答案：3＋4i

12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)

解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，

所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i.

答案：－5－4i

13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．

解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.

答案：1

14．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，

化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，

∴?????

2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0， 解得a ＝

112，∴m ＝112i. 答案：112

i 二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分14分)计算：

(1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i )

. 解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i

＝2(1－2i )1－2i

＝2. (2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i (5－4i )(1－i )

＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )

＝i －12 ＝－12＋12

i. 16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)零．

解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.

(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，

∴k ＝6或k ＝－1.

(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.

(3)当?????

k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数， ∴k ＝4.

(4)当?

???? k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R.

当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．

当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.

17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )2

2z

的值． 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，

则??? …… 此处隐藏：3113字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……