第八章 假设检验(分布拟合检验)

概率论与数理统计

假设检验( 第八章 假设检验(续)

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§4. 分布拟合检验 在前面的课程中， 在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想， 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时， 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 . 然而可能遇到这样的情形， 然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道， 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .

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年的432年间 年间， 例1. 从1500到1931年的 年间，每年爆 到 年的 发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计, 发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计 年间共爆发了299次战争 数据如下: 次战争, 这432年间共爆发了 次战争 数据如下 年间共爆发了战争次数X 战争次数 发生 X次战争的年数 次战争的年数 223 0 142 1 48 2 15 3 4 4

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在概率论中，大家对泊松分布产生的一 在概率论中， 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 般条件已有所了解，容易想到， 争的次数， 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 也就是说， 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布 近似泊松分布. 争次数分布 近似泊松分布 现在的问题是： 现在的问题是： 上面的数据能否证实X 上面的数据能否证实 具有 泊松分布的假设是正确的？ 泊松分布的假设是正确的？

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又如， 又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 抽取100个钟作试验，拨准后隔 小时 个钟作试验， 查，抽取 个钟作试验 拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差(快或慢) 以后进行检查，将每个钟的误差(快或慢) 按秒记录下来. 按秒记录下来

问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？ 分布？

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解决这类问题的工具是英国统计学家 K.皮尔逊在 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进 皮尔逊在 年发表的一篇文章中引进 2 检验法. 的所谓 χ 检验法 这是一项很重要的工作，不少人 这是一项很重要的工作， 把它视为近代统计学的开端. 把它视为近代统计学的开端K.皮尔逊 皮尔逊

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χ2检验法是在总体 的分布未知时， 检验法是在总体 的分布未知时， 是在总体X 根据来自总体的样本， 根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法. 布的假设的一种检验方法

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检验法对总体分布进行检验时 对总体分布进行检验时， 使用 χ 检验法对总体分布进行检验时，2

我们先提出原假设: 我们先提出原假设 H0:总体 的分布函数为 总体X的分布函数为 的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 布之间的吻合程度来决定是否接受原

假设 这种检验通常称作拟合优度检验 拟合优度检验， 这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验. 种非参数检验

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检验假设H 若在H 在用 χ2检验法 检验假设 0时，若在 0下 分布类型已知，但其参数未知， 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验. 用极大似然估计法估计参数，然后作检验 分布拟合的 χ 检验法 的基本原理和步 骤如下: 骤如下2

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1. 将总体 的取值范围分成 个互不重迭的小 将总体X的取值范围分成 的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作 记作A 区间 记作 1, A2, …, Ak . 2.把落入第 个小区间 i的样本值的个数记 把落入第i个小区间 把落入第 个小区间A 称为实测频数 实测频数. 作fi , 称为实测频数 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量 等于样本容量n. 3.根据所假设的理论分布 可以算出总体 的 根据所假设的理论分布,可以算出总体 根据所假设的理论分布 可以算出总体X的 值落入每个A 的概率p 于是 就是落入A 于是np 值落入每个 i的概率 i,于是 i就是落入 i的 样本值的理论频数 理论频数. 样本值的理论频数

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实测频数

fi npi

理论频数

标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小. 标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小

皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 与理论分布之间的差异 在理论分布

( fi npi ) 2 χ =∑ npi i=1kk

2

已知的条件下, 已知的条件下 npi是常量

或

k f i2 n fi χ 2 = ∑ pi = ∑ n i =1 pi n i =1 npi

2

统计量

χ

2

的分布是什么? 的分布是什么

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皮尔逊证明了如下定理: 皮尔逊证明了如下定理 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 已经完全给 若原假设中的理论分布 定，那么当n → ∞ ,统计量 时 的分布渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 个自由度的 分布. 的分布渐近 如果理论分布F(x)中有 个未知参数需用 中有r个未知参数需用 如果理论分布 中有 相应的估计量来代替，那么当 相应的估计量来代替， 时，统 n →∞ 计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2 个自由度的 分 χ χ 布.2

( fi npi ) χ =∑ npi i =1k 2

2

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为了便于理解， 为了便于理解，我们对定理作一 点直观的说明. 点直观的说明

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在理论分布F(x)完全给定的情况下，每个pi 完全给定的情况下，每个 在理论分布 完全给定的情况下 都是确定的常数. 棣莫佛- 都是确定的常数 由棣莫佛-拉普拉斯中心极 限定理， 充分大时 渐近正态， 限定理，当n充分大时，实测频数 fi 渐近正态， 充分大时， 因此

( fi npi ) χ =∑ npi i=1k 2

2

是k个近似正态的变量的平方和 个近似

正态的变量的平方和. 个近似正态的变量的平方和 这些变量之间存在着一个制约关系： 这些变量之间存在着一个制约关系：npi 2 2 渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 故统计量 χ 渐近 个自由度的 分布.i=1

∑

k

pi ( fi npi )

=0

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尚未完全给定的情况下， 在F(x)尚未完全给定的情况下，每个未知 尚未完全给定的情况下 参数用相应的估计量代替， 参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个 制约条件，因此，自由度也随之减少一个. 制约条件，因此，自由度也随之减少一个. 若有r个未知参数需用相应的估计量来代 个未知参数需用相应的估计量来代 自由度就减少r个 替，自由度就减少 个. 渐近(k-r-1)个自由度的 χ 分布 此时统计量 χ 渐近 个自由度的 分布.2 2

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根据这个定理， 根据这个定理，对给定的显著性水平α , 2 2 查χ 分布表可得临界值 χα ,使得

P(χ > χα ) = α2 2

得拒绝域: 得拒绝域

χ > χα (k 1) (不需估计参数 不需估计参数) 不需估计参数2 2

估计r χ > χα (k r 1) (估计 个参数 估计 个参数)2 2

如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 的实测值落入拒绝域， 统计量 χ 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 否则就认为差异不显著而接受原假设. 设，否则就认为差异不显著而接受原假设