直线方程的概念与直线的斜率1

cz

直线方程的概念

与直线的斜率

cz

想一想：

两元一次方程 kx-y+b=0

一次函数y=kx+b的图象是一条直线 直线上的每一点的坐标是不是方程的解？

反过来，方程的每一个解所表示的点都在直线上吗？例：y=2x+1的图象是一条直线 直线上的点的坐标都是2x-y+1=0的解。 蓝点(1,3)为直线上的点,它是 方程的解。 x=-2,y=-3为方程的解，它表示的 点(-2,-3)(绿点)必在直线上。● Y ●

O

X

cz

一、问题导引1、一元一次函数y=kx+b的图像是直线，但是只

有一元一次函数的图象是直线吗？2、一元一次函数y=2x+1、常数函数y=2、非函数

x=3的图象都是直线，而且它们都可看作是变量x、y间的二元一次方程f(x,y)= 0 。 3、二元一次方程与平面上的直线存在什么样的 对应关系？如何实现这种对应？

cz

一、直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直

线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

y=2x+1

例如直线:y=2x+1y=kx+b的图像是一条直线， 以后常说直线y=kx+b

Y ●

O ●

X

cz

二、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义： 正向 向上yl

2、直线倾斜角的范围：

规定，与 轴平行或重合的直线的倾斜角为 零度角 直线的倾斜角的取值范围为：

x

x

o

注意： (1) x轴的正向； (2)直线向上的方向。

0 , 180 0 0

cz

巩固练习1:下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )y y

Ay

aC Dx x o

x

o

o

a

By

a

o

x

a

cz

巩固练习2:如 图, ABC的 边AB, BC , AC所 在 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 哪 个？ 角y

A

0

B

C

x

cz

问题情境

楼梯的倾斜程度用坡度来刻画

2m1.2m

3m高度 坡度= 宽度

3m 坡度越大，楼梯越陡.

cz

建构数学

直线倾斜程度的刻画直线级宽

级高

y Q

P高度 宽度 M

类比思想

o

x

MP 直线的倾斜程度= QM

cz

三、直线的斜率yQ( x2 , y2 )P( x1 , y1 )

已知两点 P(x1,y1), Q(x2,y2),如果 x1≠x2, 则直线 PQ的斜率 为：

y2 y1 yx2 x1 x

y2 y1 k x1 x2 x 2 x1 y x纵坐标 的差 横坐标 的差

o

x

y1 y2 可写成 k x1 x2 吗？ x1 x 2与两点的顺序无关

cz

建构数学y

直线斜率的概念辨析

如果 x1=x2,则直线 PQ的斜 问题1: 率怎样? 斜率不存在,这时直线PQ⊥x轴 Q( x1 , y2 ) 对于一条与x轴不垂直的定直线 问题2:而言,直线的斜率是定值吗?P( x1 , y1 )

o

x 求一条直线的斜率需要什么条 问题3: 只需知道直线上任意两点的坐标件?

是定值,定直线上任意两点确 定的斜率总相等

cz

数学应用

直线斜率的计算

1 ,Q2 4, 1 ,Q3 5, 3 ,Q4 2, 5

, l1,l2,l3,l4分别经过点Q1 2, 讨论l1,l2,l3,l4的斜率是否存在，若存在，求出直线的

例1:如图，直线 l1,l2,l3,l4 都经过点P 2, 3 ,又

斜率.

yQ

4

P

Q3 Q2

l3K3=0

解: 直线l1的斜率 k1= 直线l2的斜率 k2=

l1

Q1 K1=1

o

l4斜率不存在

l2

K2=-1

x

直线l3的斜率 k3=

1 3 1 2 2 1 3 1 4 2 3 3 0 5 2

直线 l4 的斜率不存在

cz

数学应用

直线斜率的计算

仿照例1,自编两题，使直线斜 率分别为正数和负数

想 一 想

已知A(2,3),B( m,4),当m 为何值时,k>0、k<0?当 m>2时，k>0 当 m<2时，k<0

cz

倾斜角与斜率之间的关系直线平行于 x轴或与x轴重合, 倾斜角为 0 0 时, k 0;

垂直于x轴的直线的倾斜角等于 90 0 , 此时 k 不存在;

直线的倾斜角为锐角时 , k 0, 此时, 直 线的倾斜角越大 , k越大;

直线的倾斜角为钝角时 , k 0, 此时, 直 线的倾斜角越大 , k越大;

cz

巩固练习3:则k1 , k2 , k3的大小关系为 k 3 k1 k 2yl3

如图 , 设直线 l1 , l 2 , l3的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,

l2 l1

o

x

cz

巩固练习4:求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是 锐角还是钝角。

1 1, 2, 1 , 4

2 3, 0, 5 , 2

4 -1 1 k 3 0, 倾斜角是锐角 2 -1 2-5 2 k 1 0, 倾斜角是钝角 0 - - 3