2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题

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2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题（一） (2)

2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题（二） (6)

2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题（三） (12)

2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题（四） (16)

2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题（五） (20)

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第 2 页，共 24 页 2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题（一）

注意：①本试题所有答案应写在答题纸上，不必抄题，写清题号，写在试卷上不得分；

②答卷需用黑色笔（钢笔，签字笔，圆珠笔）书写，用铅笔、红色笔等其他颜色笔答题，试题作废；

③答卷上不得做任何与答题无关的特殊符号或者标记，否则按零分处理；

④考试结束后试题随答题纸一起装入试题袋中交回。

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一、证明题

1． 证明下列结论：

(1)函数

不存在原函数； (2)符号函数

不存在原函数. 【答案】(1)假设则

于是

当

时

有

当时

有由

于连续，所

以

即

从而

这与

矛盾. (2)假设由拉格朗日定理得

这说明

在点不可导，与相矛盾.

2． 设在点存在，在点连续，证明f (x ，y )在点可微. 【答案】因为在点

存在，由一元函数的可微性知

其中于是有

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令

因

为

在

点连续，所以

当

时有

从而即

故f (x ，y )在点可微.

3． 设

其中f 为可微函数，证明：

【答案】设

则

所以

二、解答题

4． 求曲线积

分

这里L 是球

面

与

交成的曲线.

【答案】等价于

记

利用斯托克斯公式得，

5． 半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同.试问将球体从水中携出需作多少功？

【答案】如图所示，取一水平层的微元，对此微元需作功

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图

6． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.

【答案】设旋转角与时间的函数关系为

则时刻t 到

内的平均角速度为

而时刻t 的角速度定义为

7． 设周期为

的可积函勤

与

满足关系式

则给出函数

的傅里叶系数

与函数

的傅里叶系数

之间的关系.

【答案】作变量替换

有

8． 设球体

上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

于是

应用