江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试 数学 含答案

1 2020届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．2

参考公式：

锥体的体积V ＝13

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的体积V ＝43

πr 3，其中r 表示球的半径． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{x|x ≥1}，B ＝{－1，0，1，4}，则A ∩B ＝________．

2. 已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi)(2＋i)的虚部为3，则实数b 的值为________．

3. 从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________．

4. 为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图(如图)．已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在

[8，9)之间通过的车辆数是________．

(第4题)

2 (第5题)

5. 如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为________．

6. 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，则“a 1＜a 2”是“a 3＜a 5”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b)．若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为________．

8. 若x ，y 满足约束条件?????x ≥0，x －y ≤0，x ＋y －1≤0，

则z ＝x ＋3y 的最大值为________．

9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与

圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为2π5

，弧长为4π cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm 3.

3 10. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R )上存在点P ，使得过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝2作切线PA(切点为A)，满足PO ＝2PA ，则实数m 的取值范围是________．

11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝12与函数f(x)＝sin (ωx ＋π6

)(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，….若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为________．

12. 如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，

Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ →·EF →的值为________．

13. 已知实数x ，y 满足x(x ＋y)＝1＋2y 2，则5x 2－4y 2的最小值为________．

14. 已知函数f(x)＝???ex

e x ，x ≤2，

4x －85x ，x ＞2(其中e 为自然对数的底数)．若关于x 的方程f 2

(x)－3a|f(x)|＋2a 2＝0恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

已知向量a ＝(sin x ，34

)，b ＝(cos x ，－1)． (1) 当a ∥b 时，求tan 2x 的值；

(2) 设函数f(x)＝2(a ＋b )·b ，且x ∈(0，π2

)，求f(x)的最大值以及对应的x 的值．

4

16.(本小题满分14分)

如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点．

(1) 求证：DE ∥平面ACC 1A 1；

(2) 若DE ⊥AB ，求证：AB ⊥B 1C.

17. (本小题满分14分)

为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB

中，∠AOB ＝2π3

，OB ＝23(百米)，荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在AB ︵上(C 与A ，B 不重合)，在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC ＝θ，蜂巢区的面积为S(平方百米)．

(1) 求S 关于θ的函数关系式；

(2) 当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．

5

6 18. (本小题满分16分)

如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上

辅点”．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点(1，32

)的上辅点为(1，3)． (1) 求椭圆E 的方程；

(2) 若△OPQ 的面积等于12

，求上辅点Q 的坐标； (3) 过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．

7 19. (本小题满分16分)

已知数列{a n }满足2S n ＝na n ＋a 1，a 3＝4，其中S n 是数列{a n }的前n 项和．

(1) 求a 1和a 2的值及数列{a n }的通项公式；

(2) 设T n ＝1S 1＋2＋1S 2＋4＋1S 3＋6＋…＋1S n ＋2n

(n ∈N *)． ① 若T k ＝T 2T 3，求k 的值；

② 求证：数列{T n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

8 20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝a ＋ln x x (a ∈R )．

(1) 求函数f(x)的单调区间；

(2) 当函数f(x)与函数g(x)＝ln x 图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合； (3) 求证：当a ∈(0，12)时，函数h(x)＝f(x)－ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＜1a .

9 2020届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵M ＝[1a b 1]的逆矩阵为M －1＝[c 20d ]，求矩阵N ＝[a b c d

]的特征值．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，P 为半圆C ：?????x ＝cos θ，y ＝sin θ

(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，AP ︵的长度为π3

.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1) 求点P 的极坐标；

(2) 求直线AP 的极坐标方程．

C. (选修45：不等式选讲)

若x ∈(－5，4)，求证：5＋x ＋8－2x ≤3 3.

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA＝4，DD1＝6，DC＝6，E为棱BC的中点，F为线段D1E的中点，G是棱AB上的一个动点(包含端点)．

(1) 若G为AB的中点，求异面直线FG与DE所成角的余弦值；

(2) 若二面角GDFE的平面角的余弦值为

5

10，求点G的位置．

23. 已知f(n)＝(2－1)n，n∈N*.

(1) 若f(5)＝a＋b2，其中a，b∈Z，求a＋b的值；

(2) 求证：对任意的正整数n，f(n)可以写成m－m－1的形式，其中m为正整数．

10

11 2020届高三模拟考试试卷(苏州)

数学参考答案及评分标准

1. {1，4}

2. 1

3. 23

4. 220

5. 2

6. 充分不必要

7. 62

8. 3

9. 16（6＋1）3

π 10. m ≤0或m ≥43 11. 3 12. －74 13. 4 14. [2e ，45)∪????

??12 15. 解：(1) 因为a …… 此处隐藏：6913字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……