材料力学8-应力状态分析

第八章§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5

应力状态分析

强度理论

应力状态的概念 平面应力状态分析——解析法 平面应力状态分析——图解法(应力圆) 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 广义胡克定律

§8-6

强度理论概念

§8-1

应力状态的概念

1、问题的提出 问题1:同一点处不同方位截面上的应力不相同；轴向拉伸杆件F 横截面应力： A

Fn

F p x

斜截面应力：

F cos2 sin(2 )2

F

p

问题2

B点处应力该如何校核？* M max Fs Smax max , max . Wz Iz b

梁弯曲的强度条件：

Fz( )z

F

B

B

B

Fl——有必要研究一点的应力状态。

2、点的应力状态的概念

应 力指明 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？

过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力 状态(State of the Stresses of a Given Point)。研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最

大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。

3、一点的应力状态的描述

研究一点的应力状态， 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析

各边边长 在单元体各面上标上应力—— 应力单元体

dx , dy , dz z

x

zx zy xz yz

xy yx

y

4、应力状态的分类(1)、主平面与主应力： 主平面：切应力为零的平面。 主应力：作用于主平面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 10 x

y

y

x

x

y

过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力

2 3 1 10; 2 0; 3 30;

50 单位：MPa

1 50; 30 2 10; 3 30;

1030

(2)、应力状态的分类 a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。 b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。 c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。

平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。

纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。

空间应力状态

平面应力状态

z

z zy yz

y y

zxx x

yx

xz

xy y

xy

xy yx

x

y x

y

yx

xy

x

x

单向应力状态

纯剪应力状态

取单元体示例一

FPS 截面

l/2

l/2

5

43 2 1

FP 2

S截面

5

FP l Mz 4

4 3 21

5 43 2 1

FP 2

S 截面

5 4 3 2

FP l Mz 4

1 2

1

x

1

2 2

x

32

3

取单元体示例二

l

y1S 截面

S截面

FPa

4

z

23

x

忽略弯曲切应力

y

1

FQy

Mx 1 Wp

1 4z

x

1

Mz Wz

Mzx

3Mx 3 Wp

2 3

Mx

Mz x Wz3

4 3 Mx Wp

§8-2 平面应力的应力状态分析 — 解析法一、斜截面上的应力计算 y xy

y

y等价

x x

y x y x

xy

yoz

空间问题简化 为平面问题y

x

y

o

x

y

n

xo

x y xx

-- 逆时针转为正。

y xab

y xc

b

n

单元体各面面积

x

x

xa y

y

c

x bc : dA

ab : dA cos t

y

ac : dA sin

设：斜截面面积为dA,由分离体平衡得：

F 0 ;n

dA ( x dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( y dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0

bc : dA ; ab : dA cos ; ac : dA sin

F 0,t

dA ( x dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( y dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0b

由切应力互等定理和三角变换，可得：

x y x y cos 2 xy sin 2 x 2 2 x x y c a sin 2 xy cos 2 y y t 2符号规定：1 )“ ”正负号同“ ”; 2) “ ”正负号同“ ” ; 3) “a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。

n x