培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

学思堂数学提优课程教案

3、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于

分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，

分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一

元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用

例1. 把多项式2a(a2 a 1) a4 a2 1分解因式，所得的结果为（ ）

A.(a2 a 1)2

C.(a a 1)22B.(a2 a 1)2D.(a a 1)22

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式 2a((a2 a 1) a4 a2 1

a4 2a3 3a2 2a 1

(a4 2a3 a2) (2a2 2a) 1

(a a) 2(a a) 1

(a2 a 1)2222

故选择C

例2. 分解因式x5 x4 x3 x2 x 1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5 x4 x3和 x2 x 1分别看成一组，

此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5 x4，x3 x2和x 1分别看作

一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：

原式 (x5 x4 x3) (x2 x 1)

(x3 1)(x2 x 1)

(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)

解法2：

原式 (x5 x4) (x3 x2) (x 1)

x4(x 1) x2(x 1) (x 1)

(x 1)(x4 x2 1)

(x 1)[(x4 2x2 1) x2]

(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)

2. 在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a b，a2 c2 b2 2ac

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

证明： a2 c2 b2 2ac

a2 c2 b2 2ac 0

a2 2ac c2 b2 0，即(a c)2 b2 0

(a c b)(a c b) 0

又 a c b a c b

a c b 0，a c b 0

a b c，a b c

即a b c a b

以a、b、c为三边能构成三角形

3. 在方程中的应用

例：求方程x y xy的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑

借助因式分解求解

解： x y xy

xy x y 0

xy x y 1 1

即x(y 1) (y 1) 1

(y 1)(x 1) 1

x,y是整数

x 1 1 x 1 1 或 y 1 1 y 1 1

x 0 x 2或 y 0y 2

4、中考点拨

例1.分解因式：1 m2 n2 2mn _____________。

解：1 m2 n2 2mn

1 (m2 2mn n2)

1 (m n)2

(1 m n)(1 m n)

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分

解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：x2 y2 x y ____________

解：x2 y2 x y (x2 y2) (x y)

(x y)(x y) (x y)

(x y)(x y 1)

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：x3 3x2 4x 12 ____________

解：x3 3x2 4x 12 x3 4x 3x2 12

x(x2 4) 3(x2 4)

(x 3)(x 2)(x 2)

说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：

例1. 分解因式：m2(n2 1) 4mn n2 1

解：m2(n2 1) 4mn n2 1

m2n2 m2 4mn n2 1

(m2n2 2mn 1) (m2 2mn n2)

(mn 1) (m n)22

(mn m n 1)(mn m n 1)

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成

完全平方和平方差公式。

例2. 已知：a2 b2 1，c2 d2 1，且ac bd 0，求ab+cd的值。

解：ab+cd=ab 1 cd 1

ab(c2 d2) cd(a2 b2)

abc2 abd2 cda2 cdb2

(abc2 cdb2) (abd2 cda2)

bc(ac bd) ad(bd ac)

(ac bd)(bc ad)

ac bd 0

原式 0

说明：首先要充分利用已知条件a2 b2 1，c2 d2 1中的1（任何数乘以1，其值不变），其次

利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。

例3. 分解因式：x3 2x 3

分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味

着x 1是x3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑x 1这个因式。

解一（拆项）：

x3 2x 3 3x3 3 2x3 2x

3(x 1)(x2 x 1) 2x(x2 1)

(x 1)(x x 3)2

解二（添项）：

x3 2x 3 x3 x2 x2 2x 3

x2(x 1) (x 1)(x 3)

(x 1)(x2 x 3)

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？

【实战模拟】

1. 填空题：

（1）分解因式：a2 3a b2 3b

（2）分解因式：x2 2x 4xy 4y2 4y

（3）分解因式：1 mn(1 mn) m3n3

2. 已知：a b c 0，求a3 a2c abc b2c b3的值。

3. 分解因式：a a 1 5

4. 已知：x2 y2 z2 0，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 y3 z3 (x y)(x z)A，试求A的

表达式。

5. 证明：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2 (a 1)2(b 1)2

关联性教育首倡者

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【试题答案】

1. （1）解：原式 (a2 b2) 3(a b)

(a b)(a b) 3(a b)

(a b)(a b 3)

（2）解：原式 (x2 4xy 4y2) 2(x 2y)

(x 2y)2 2(x 2y)

(x 2y)(x 2y 2)

（3）解：原式 1 mn m2n2 m3n3

(1 mn) m2n2(1 mn)

(1 mn)(1 mn)22

2. 解：原式 (a b)(a2 ab b2) c(a2 ab b2)

(a2 ab b2)(a b c)

a b c 0

原式 0

说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。

3. 解：a5 a 1

a5 a2 a2 a 1

a2(a3 1) (a2 a 1)

a(a 1)(a a 1) (a a 1)

(a2 a 1)(a3 a2 1)222

4. 解： x2 y2 z2 0

y2 x2 z2，z2 x2 y2

x3 y3 z3

(x3 y3) z z2

(x y)(x2 xy y2) z(x2 y2)

(x y)[x xy y z(x y)]

(x y)[x(x z) y(x z) (x2 z2)]

(x y)(x z)(x y x z)

(x y)(x z)(2x y z)22

A 2x y z

5. 证明：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2

a2 ab 2a ab b2 2b 2a2b 2ab2 4ab 1 2ab a2b2

a2 b2 2a 2b 2a2b 2ab2 4ab 1 a2b2

(a2 2ab b2) (a2b2 2ab 1) (2a 2b) (2a2b 2ab2)

(a b)2 (ab 1)2 2(a b)(ab 1)

[(a b) (ab 1)]2

(a ab b 1)2

(a 1)2(1 b2)

(a 1)(b 1)22