二面角 平面角的定义

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1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义平面的一条直线把平面分为两部分， (1)半平面 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。 其中的每一部分都叫做一个半平面。 半平面

α α(2)二面角

l从一条直线出发的两个半平面所 从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。 组成的图形叫做二面角。 二面角这条直线叫做二面角的棱， 棱 每个半平面叫做二面角的面。 面

l

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(3)常见二面角的画法

(4)二面角的记法 “面1—棱—面2” 面 棱 面

如： ①以直线a为棱，以α、β 为半平面的二面角记作： “α—a—β” α a β ②以直线l为棱，以平面 ABCD、平面A1B1C1D1为半 平面的二面角记作：1 1 1 1

?

O

B A

?” “面ABCD—l—面A B C D或“A—l—A1”,等等。

a

β

α二面角.gsp

③以直线AB为棱，平面CAB、 平面DAB为半平面的二面角 记作： 等等。 “C—AB—D”

?

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(5)二面角的平面角 (5)二面角的平面角—— 二面角的平面角

垂直于二面角的棱的任一平面 与两个半平面的交线所成的角 。 O 。 叫做二面角的平面角。 或： 从二面角的棱上任一点在 两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。

B Bβ

A A α

小结： 小结： 1.二面角就是用它的平面 O 角来度量的。一个二面角的平

。

B A A1 B1β

面角多大，我们就说个二面角 是多少度的二面角。 等角定理 若一个角的两边与 O1 。 另一个角的两边分别平行且方 复习回顾 2.二面角的平面角与点(或 向相同，则这两个角相等。 向相同，则这两个角相等。 垂直平面)的位置无任何关系， 只与二面角的张角大小有关。

α

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(6)二面角的范围

[0 ,180 ](7)直二面角平面角为直角 的二面角叫做 直二面角

。

。

二面角的.gsp

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当 堂

2. 课 堂 诊 断1、二面角指的是( ) A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。 2、二面角的平面角的顶点在二面角的__上， 角的两边分别在二面角的__内，且两边都与棱 ____,它的度数与它的平面角的度数___。

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3.有关二面角的题型例1 在60 的二面角的棱上有两个点A、B,AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB,已知AB=4cm, AC=6cm,BD=8cm,求CD的长。 C。

分析D

A

B

的长， 可考虑用向量法， 即求| , 要求CD的长， 可考虑用向量法， 即求 CD|, 要求| , 要求 CD|,须先用已知向量CA、 AB、 BD 表示它，不难得到：

表示它，不难得到：CD=CA+ AB+BD |a |2=a a 求出结果 求出结果. 最后根据

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解 ： 由已知得： 由已知得 ： < CA , BD >=180 - 60 = 120 , >=○ ○ ○

CA AB = 0, AB BD = 0 ,2 ∴ | CD | =( CA + AB + BD ) 2

= | CA | + | AB | + | BD | + 2 CA BD × = | CA | + | AB | + | BD | + 2| CA |× | BD |cos< CA , BD > = 6 + 4 + 8 + 2× 6× 8× cos120 × × × = 6 + 4 + 8 - 2× 6× 8× = 68 × × × = ∴ | CD |= 2 172 2 2 2 2 2○

2 2

2 2

2 2

1 2

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例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求 二面角 A1-BD-C1 的大小。解 ： 方 法 一 ) ( 由 正 方 体 的 面 对 角 线 长 都 相 等 可 知 ， △ A 1B D C 1B D 是 全 等 的 正 三 角 形 ， 取 B D 的 中 点 O , 连 结 A 1O 、 C 1 O , 则 A 1O ⊥ B D , C 1O ⊥ BD, ∴ ∠ A 1O C 就 是 二 面 角 A 1- B D - C 1 的 平 面 角 。 ∵ A 1C 1=2

与 △

a , A 1O = C 1O =(

3 × 2

2

a= =

6 2

a

∴ c o s ∠ A 1O C =

6 6 a)2 + ( a)2 ( 2 2 6 6 2 × a × a 2 21 3。

2a)2

1 3

∴ ∠ A 1O C = a r c c o s

故 二 面 角 A 1- B D - C 1 的 大 小 为 a r c c o s

1 3

。

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解： (方法二) 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1,BD 的中点为 O,则1 1 D(0,0,0),B(1,1,0), O( , ,0), 2 2

A1(1,0,1),C1(0,1,1) ∴ BD=(0,0,0)-(1,1,0)=(-1,-1,0)

OA OC

=(1,0,1) -( 1 , 1 ,0)=( 1 ,- 1 ,1) 12 2 2 2

=(0,1,1) -( 1 , 1 ,0)=(- 1 , 1 ,1) 12 2 2 2

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∴ BD● OA 1 =- 1 × 1 +(- 1 )×(- 1 )+ 0 × 1 = 02 2

BD● OC =(- 1 )×(- 1 )+- 1 × 1 + 0 × 1 = 01

2

2

OA

● OC 1 = 1 ×(- 1 )+(- 1 )× 1 + 1 × 1 = 1 12 2 2 2

2

| OA 1 |=| OC 1 |= ∴ OA1⊥ BD , OC 1⊥ BD ,

6 2

∴< OA 1 , OC 1 >就是二面角 A1- BD - C 1 的平面角。 ∴ cos< OA 1 , OC 1 >=

OA OC | OA | | OC1 1

1

1

|

=

1 2 6 6 2 2

= 。

1 3

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例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的中点，求二面角E-FG-A的大小。 解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H, 连结EH。由EA⊥平面AC及三垂线 三垂线定理可得： 三垂线 EH ⊥FG, 故∠EHA就是二面角 E-FG-A 的平面角。在Rt△EAH 中，易得

2 AH= EF,EF=EA, 2∴tan∠EHA= 2 , ∴∠EHA=arctan 2 。

H

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本 节

1、二面角的定义 2、二面角的平面角的定义 3、二面角的平面角的求解： ①找(或作)出平面角 ⑴定义法 ⑶三垂线定理法 ②求解 解三角形或用向量的夹角公式 ⑵棱的垂面法 ⑷向量法 等

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作 课本第47页 4、5(3)

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