【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第二章 函数的单调性与最值

§2.3

函数的单调性与最值

[高考调研考纲解读

明确考向]考情分析

利用函数的单调性求单调区间、比较大小、 理解函数的单调 性、最大值、最小 值及其几何意义. 会运用函数的图像 理解和研究函数的 性质. 解不等式、求变量的取值是历年高考考查的 热点. 利用函数的单调性求最值，及利用它们求参 数取值范围问题是重点，也是难点. 题型以选择题和填空题为主，与导数交汇命 题则会以解答题的形式出现.

知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义：增函数 减函数 一般地，设函数f x 的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2 定义1 __________, 当x1<x2时，都有□ 2 _______, 当x1<x2时，都有□

那么就说函数f(x)在区间D上是增函 那么就说函数f(x)在区间D上是 数 减函数

图像 描述3 ____ 自左向右看图像是□ 4 ____ 自左向右看图像是□

(2)单调区间的定义：5 ________或□ 6 __________,则 若函数f(x)在区间D上是□

称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x) 的单调区间.

(3)判断函数单调性的方法： ①根据定义；②根据图像；③利用已知函数的增减性；④ 利用导数；⑤复合函数单调性判定方法：在复合函数y=f(g(x)) 中，若u=g(x)在区间[a,b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间 [g(a),g(b)]上(或在区间[g(b),g(a)]上)是单调增(减)函数，那么 复合函数y=f(g(x)) 在区间[a,b]上一定是单调函数，它的增减 性如下表

u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数

y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数

y=f(g(x)) 增函数 减函数 减函数 增函数

规律：“同增异减”.

2.函数的最值前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I,都有 条件7 ________________; □ 8 (2)存在x0∈I,使得□ 9 (1)对于任意x∈I,都有□

________________;10 (2)存在x0∈I,使得□

________________. 结论 M为最大值

________________. M为最小值

1 f(x1)<f(x2) 答案： □ 下降的

2 f(x1)>f(x2) □ 3 上升的 □ 4 □

5 增函数 □ 6 减函数 □ 7 f(x)≤M □ 8 f(x0)=M □

9 f(x)≥M □ 10 f(x0)=M □

名师微博 ●一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的 1 限制.例如函数y=x 分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调 递减的，但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(-∞,0) 和(0,+∞),不能用“∪”连接.

●两种形式 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 f x1 -f x2 f x1 -f x2 ① >0 f(x)在[a,b]上是增函数； x1-x2 x1-x2 <0 f(x)在[a,b]上是减函数

.

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 f(x)在[a,b]上是增函数；(x1 -x2)[f(x1)-f(x2)]<0 f(x)在[a,b]上是减函数.

●两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函 数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

●四种方法 函数单调性的判断方法 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为 增函数，不同时为减函数. (3)导数法：利用导数研究函数的单调性. (4)图像法：利用图像研究函数的单调性.

基础自测 1.下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是( A.y=sinx 1 C.y= 2 x

)

B.y=-log2x D.y=x- 1 2

π π 解析：∵y=sinx在 -2,2 上是增函数，

∴y=sinx在(0,1)上是增函数.

答案：A