10-11-2高数1(B)期中考试试卷参考答案

系 专业 级 班级 姓名 学号

装 订 线

考 生 信 息 栏

1、

2 xy + 4 = ( x , y ) → (0,0) xy lim→ → →

2、已知 OA = i + 3 k , OB = j + 3 k ,则 OAB 的面积为 3、由曲线 y 2 = x 和 y = x 2 围成的图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的体积为 4、两平面 x y + 2 z 6 = 0 和 2 x + y + z 5 = 0 的夹角是 5、 过点 (2, 5,3) 且平行于 xoy 面的平面方程为 6、求点 (1, 2,1) 到平面 x + 2 y + 2 z 10 = 0 距离 7、函数 z = e xy 在点(2,1)处的 的全微分 dz = 8、设 z = eu sin v ,而 u = x , v = x 2 z 1 ,则 在点 ( 2, ) 处的值为 y x y π

→

→

→

9、 计算双曲线抛物面 z = xy 被柱面 x 2 + y 2 = R 2 所截出的面积 10、设 L 是由点 O(0,0)经过点 A(1,0) 到点 B(0,1)的折线，则曲线积分 ∫ ( x + y )ds =L

,请把答案写在下面表格中 二、选择题(每题 3 分，共 18 分) 请把答案写在下面表格中 选择题( ,得分

对应的位置。 对应的位置。阅卷人

题号 答案

1 B

2 C z x

3 B( x0 , y 0 )

4 C =

5 A

6 A

1、设 z = f ( x, y ) ,则 (A) lim

x →0

f ( x0 + x, y 0 + y ) f ( x0 , y 0 ) x f ( x0 + x, y ) f ( x0 , y 0 ) x

(B) lim

x →0

f ( x0 + x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) x f ( x0 , y 0 + y ) f ( x0 , y 0 ) x

(C) lim

x →0

(D) lim

x →0

2、已知曲面 z = 4 x 2 y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 2 x + 2 y + z 1 = 0 ,则点 P 的坐 标是 (A) (1, 1,2) (B) ( 1,1,2) (C) (1,1,2) (D) ( 1, 1,2)

3、设积分区域 D 是 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,则 ∫∫ dxdy =D

(A) π

(B)3 π

(C)4 π

(D)15 π

第 2 页 共 6 页

4、设 z = z ( x, y ) 由 x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6 = 0 所确定的函数，则 (A)1 52 0

z x

(1, 2 , 1)

=

(B)x2 0

11 5

(C)

1 5

(D)

11 5

5、二次积分 ∫ dx ∫ (A) ∫ dy ∫0 4 2 y

f ( x, y )dy 的另一种积分次序是 (B) ∫ dy ∫0 4 y 0 y 2

f ( x, y )dx

f ( x, y )dx f ( x, y )dx

(C) ∫ dy ∫ 2 f ( x, y )dx0 x

4

2

(D) ∫ dy ∫0

4

6、设 L 是任何不经过 y = 0 的区域 D 内的曲线，为了使曲线积分

∫学号L

x 2 x2 ( x + y 2 ) a dx 2

( x 2 + y 2 ) a dy 与路径无关，则 a = y y1 2

线

(A) 得分

(B)

1 3

(C)

5 2

(D)

3 2

栏

三、解答题(每题 6 分，共 24 分) 请 解答题( , 把答案写在问题的下面。 把答案写在问题的下面。姓名 阅卷人

息

1、抛物线 y = x 2 + 4 x 3 与其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形 的面积订

解：y′ = 2 x + 4, ′(0) = 4; y′(3) = 2LLLLLLLLLLLLLLL1分 y 设点 (0, 3) 处的切线为 l1; (3, 0) 处得切线为 l2 . 则 l1 : y = 4 x 3; 点 3 l 2 : y = 2 x + 6. 其交点为 , 3 ; LLLLLLLLLLLLLLLLL 3分 2 于是所求面积为： A = ∫ 2 [( 4 x 3) ( x 2 + 4 x 3)]dx + ∫ 3 [( 2 x + 6) ( x 2 + 4 x 3)]dx LL 5分0 2 3 3

信

考

级 班级

生

专业

装

∫

3 2 0

3 9 x 2 dx + ∫ 3 [ x 2 6 x + 9]dx = LLLLLLLLLLLLLLLLLL 6分 4 2

2、求过点 (1,1,1) 且同时平行于平面 x + 2 z = 1 及 y 3 z = 2 的直线方程r 解：设所求直线的方向向量为 s = (m, n, p ), ur uu r 平面 x + 2 z = 1 及 y 3 z = 2 的法向量为 n1 = (1, 0, 2) 和 n2 = (0,1, 3),则 r ur s n1 =m + 2 p = 0 3 m 得 n = m, p = LLLLLL 4分 r ur 2 2 s n1 =n 3 p = 0 则所求直线方程为 x 1 y 1 z 1 = = LLLLL 6分 3 1 1 2 2

系

第 3 页 共 6 页

3、求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 1 在点 (2,1, 4) 的切平面及法线方程解： F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 z 1, 则有 Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = 1; 设 Fx (2,1, 4) = 4, Fy (2,1, 4) = 2, Fz (2,1, 4) = 1LLLLLLLLLLL 2分 所求切平面方程为 4( x 2) + 2( y 1) ( z 4) = 0 即 4 x + 2 y z = 6LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 4分 所求法线方程为 x 2 y 1 z 4 = = LLLLLLLLLLLLLL 6分 4 2 1

4、计算 ∫∫ e xD

2

y2

dσ ,其中 D 为圆 x 2 +y 2 = a 2 的内部

解： 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 2分 则 ∫∫ e xD2

y2

dxdy = ∫∫ e r rdrdθ = ∫ dθ ∫ e r rdr LLLLLLLLL 4分2 2

2π

a

0

0

D

1 2π a2 a2 ∫0 1 e dθ = π 1 e LLLLLLLLLLLLLLLL 6分 2 四、解答题(每题 8 分，共 32 分) 请 解答题( ,得分

(

)

(

)

把答案写在问题的下面。 把答案写在问题的下面。阅卷人

1、要制造一容积为 4m3 的无盖长方体水箱，问这水箱的长，宽，高各位多少时，所用 材料最省？

解： S = xy + 2 xz + 2 yz , V = xyz = 4, 这里 x, y, z 分别表示水箱的长宽高， 设 则问题转化为求函数 S = xy + 2 xz + 2 yz 在条件 xyz = 4 约束下的极值； LLLLL 3分 令 L( x, y, z ) = xy + 2 xz + 2 yz + λ ( xyz 4 )LLLLLLLLLLLLLLLLLL 4分 Lx = y + 2 z + λ yz = 0 L = x + 2 z + λ xz = 0 y 则 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 6分 Lz = 2 x + 2 y + λ xy = 0 L = xyz 4 = 0 λ 解方程

组得 x = y = 2, z = 1LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 7分 根据问题的实际意义，最小值总存在，所以水箱底是 边长为 2m 的正方形，高为 1m 时，用料 2m 2 为最省。 LLLLLLLLLLLL8分

第 4 页 共 6 页

2、 计算 ∫∫ xydσ , 其中 D 是抛物线 y 2 =x 及直线 y = x 2 所围成的闭区域D

解： D可表示为 1 ≤ y ≤ 2, y 2 ≤ x ≤ y + 2LLLLLLLLLLL 2分 区域 则 ∫∫ xydσ = ∫ dy ∫ 2 xydx LLLLLLLLLLLLLLLLL 5分D 1 y 2 y+2

=

1 2 45 2 5 ∫ 1 ( y + 2 ) y y dy = 8 LLLLLLLLLLLLLLLL8分 2

(

)

3、计算 ∫∫∫ zdV ,其中 是由半球体： x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , z ≥ 0学号

解： 积分区域 可以用球面坐标系表示为 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ≤2π

线

π2

, 0 ≤ θ ≤ 2π LLLLLLLLLLLLLL 3分πR

栏

姓名

则 ∫∫∫ zdV = ∫ dθ ∫ 2 d ∫ r cos r 2 sin dr LLLLLLLL 6分 0 0 0

π R 1 = 2π ∫ 2 sin d sin ∫ r 3 dr = π R 4 LLLLLLLLLLLL 8分 0 0 4

4、计算 ∫ ( x + y )dx + ( y x)dy ,其中 L 是：L

息

(1) 抛物线 y 2 = x 上从点 (1,1) 到点 (4, 2) 的一段弧； (2) 从点 (1,1) 到点 (4, 2) 的直线段； (3) 先沿直线从点 (1,1) 到点 (1, 2) ,然后再沿直线到点 (4, 2) 的折线。 2 …… 此处隐藏：3530字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……