高考专题训练(十五) 椭圆、双曲线、抛物线

高考专题训练(十五) 椭圆、双曲线、抛物线

A级——基础巩固组

一、选择题

x2

1．以双曲线3－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )

A．y2＝4x

C．y2＝－42x

解析 线方程为y2＝－8x.

答案 DX k B 1 . c o m

2．已知中心在原点的双曲线C则C的方程是( )

x2y2

B.4－51 x2y2

D.2－＝1

5

a＝2，bc－a＝5，故双曲线方答案 B

x2y2

3．已知方程＋1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取

2－k2k－1值范围是( )

1 A.2，2

B．(1，＋∞)

C．(1,2)

2k－1>2－k，解析 ∴1<k<2.

2－k>0，

1

D.21

答案 C

4.

(2014·浙江考试院抽测)如图，F1，C2

|F1F2|＝|F1A|，则C22B.32D.5a为椭圆的长半轴)，|AF1|－|AF2|＝2，而|F1A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c2

＝2，故C2的离心率e＝3答案 B

x2y2

5．(2014·山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为ab＝1，双曲线C2

x2y23

的方程为a－b＝1，C1与C2的离心率之积为2，则C2的渐近线方程为

( )

A．x2y＝0 C．x±2y＝0

2x±y＝0 D．2x±y＝0

cc解析 由题意知e1＝ae2＝a cccc3

∴e1·e2＝a＝＝aa2222又∵a2＝b2＋c1，c2＝a2＋b2，∴c1＝a2－b2， 2

a4－b4 b 4c2c∴a＝a1－ a ，

b 43

即1－a ＝4

b2b2解得a2a2. x2

y2

令0，解得bx±ay＝0， x2y26ab1(a>0，b>0)的左、右91|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝4，则该双A.3 9C.4

5B.3D．3

解析 联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a，b，c的方程，求离心率．

不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.

根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a， 3b＋2a3b－2a

又r1＋r2＝3b，故r1＝2r2＝2. 3b＋2a3b－2a99

又r1·r2＝4ab，所以22＝4， b4

解得a3(负值舍去)． c故e＝a＝ 答案 B 二、填空题

7．在平面直角坐标系xOy是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1．

解析 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2125，b＝3

a＋ba＝

b 2

＋1

a 1

218＝9. 28．(2014·福建卷)椭圆Γa＋b＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

解析 由直线方程为y3(x＋c)， 知∠MF1F2＝60°，

又∠MF1F2＝2∠MF2F1， 所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2， 所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c， 所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a. c

即e＝a＝3－

1.

答案 3－1

12x22

C23－y＝1的右焦点的M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p3

y＝3x.抛物线的焦点为x 1

F 0y′＝p，由题意知在M x0，2p处的

3p 3p

3p，点F0，2，F2(2,0)，Mp，6 3

2

ppp

206－243

，即p＝3.

0－23

3－0

43答案 3

三、解答题

x2y2

10．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：ab1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

3

(1)若直线MN4，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2

解 (1)根据c＝a－b及题设知2＝a2c1c－c代入2b＝3ac，解得a2a2

2

(2)由题意，原点O为F1F2所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)

，

29 a－4a 1将①及c＝a－b代入②得4a＋4a＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝7.

x2y2

11．(2014·天津卷)设椭圆a＋b1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

3

右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝2|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝22.求椭圆的方程．

解 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)． 3

由|AB|＝2F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.

2c1222

又b＝a－c，则a22

所以，椭圆的离心率e2. (2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. x2y2

故椭圆方程为2c＋c＝1.

，c)，c)． x0＋y0＋c＝0.① 1.②

4而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－3，

4cc c

代入①得y0＝3，即点P的坐标为 －3，3.

设圆的圆心为T(x1，y1)，

4c－3c＋03＋c22

则x1＝23c，y1＝23c， 5

所以圆的半径r＝ x1－0 ＋ y1－c ＝3.

由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，

2 2 2 2 52

又|MF2|＝22，故有 c＋3c ＋ 0－3c ＝8＋9c，解得c2＝3.

x2y2

所以，所求椭圆的方程为631.

B级——能力提高组

1．(2014·四川卷)已知F为抛物线y2＝xA，B在该抛物线→·→＝2(其中O)，则△ABO与△AFO上且位于x轴的两侧，OAOB面积之和的最小值是( )

A．2

B．3

D.10

设出直线AB的方程，用分割法表示出△ABO的面积，将S△ABO＋S△AFO

表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．

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设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

→·→＝2，∴xx＋yy＝2. ∵OAOB1212

2又y21＝x1，y2＝x2，∴y1y2＝－2. 2

y＝x，联立 得y2－ny－m＝0，

x＝ny＋m，

∴y1y2＝－m＝－2， ∴m＝2，即点M(2,0)．

1又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝2OM||y1|

11

S△AFO＝2|OF|·|

y1|＝81，

19∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋81＝8y14

当且仅当y1＝3时，等号成立． 2>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象|PF1|＝2|PF2|，则双|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又|PF1||)2＋2|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2，即2|PF1＝2|PF2|代入得，|PF2|＝b，|PF1|＝2b，c

代入|PF1|2＋|PF2|2＝4c2得5b2＝5c2－5a2＝4c2，∴c2＝5a2，e＝a5.

答案

5

x22

3．已知动点C是椭圆Ω：a＋y＝1(a>1)上的任意一点，AB是圆G：931→→x＋(y－2)＝4(A，B是端点)，CA·CB的最大值是4.

2

2

(1)求椭圆Ω的方程；

(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1，F2，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P，Q两点. 在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

x2

2

解 (1)设点C的坐标为(x，y)，则＋y＝1，

→＝CG→＋GA→，CB→＝连接CG，由CA又G(0,2)，

→·→＝CG→2－GA→2＝x2＋(y－(a可得CACB7

－1)y2－4y＋a＋4y∈[－1,1]．

4

因为a>1，故当y＝－1727(a－1)＋4＋a＋44 →·→CACB

7

a＋4 1－a 4 －16

4 1－a

，

＝2(a2－7a＋10＝0，解得a＝5或a

x22

综上所述，椭圆Ω5＋y＝1.

(2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点坐标为(x0，y0)，

22xx2

5＋y1＝15＋y22 …… 此处隐藏：1852字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……