1-1-向量内积正交

引言

第一章

基础知识

向量的内积、正交等概念矩阵相似变换、正交变换概念

：标准特征问题基本性质向量正交化方法（G-S方法）

矩阵三角分解、QR分解*

（* 通过H变换和Givens变换实现QR分解）

这些基础知识在后面具体方法中都会用到，因此首先介绍这些内容。

本章介绍

第一节向量的内积和正交

一、线性空间子空间

1、：n 维实向量{x}的全体（集合）

称为n 维线性空间，记为R n

则 x Rn

称为实空间：n 维复向量{x}的全体，记为C n，则

x C

n

称为复空间。

另外：R

m n是m×n阶实矩阵 A 集合。

C

m n

是m×n阶复矩阵 A 集合。

R

m n

和

C

m n

均为线性空间。

均为

线性

空

间

第一节向量的内积和正交

2、子空间的概念设有

m n 个向量： x1 x2 xm R

n

由这m 个向量的任何线性组合所构成的集合：

称为Rn

的由

x1 x2 xm 所生成的子空间，

记为

span x1 xm

生成/张成

x1 xm

称为子空间生成向量。

第一节向量的内积和正交

子空间的维数= m

即

span x1 , x2 , xm

是Rn

的一个m维子空间。

二、向量的内积和正交

1、向量内积的定义①设有

x , y R

n

在实数域线性空间中定义内积：

则 x , y y T

x xiyi

在

Rn

中定义了内积的向量集合

—称为n 维欧几里德空间

（或称为内积空间）

第一节向量的内积和正交

②

如设

x , y C

n

在复数域上两向量内积定义：

则

x , y y H

x xii

（复数域上n 维线性空间Cn

内积定义）

则C

n

称为酉空间。

式中

y

H

11 n ——转置共轭。

2、内积的性质（共4条）（1）对称性质

第一节向量的内积和正交

x , y y , x x , y y,x——实数域——复数域

（2）线性性质

Rn: x , y x , y x , y x , y 第一节Cn

: x , y x , y

向量的证：内 x , y y,x积 和正 y ,xx , y

交

为实数

——实数域

复数, C

1）得）

证毕。

（由性质（

（3）结合性

x y ,z x ,z y ,z

第

一节向量的内积和正交

（4）正定性

x , x 0

当

x 0

时，内积＞0

当且仅当 x 0时，

x , x 0

有了“内积”定义，我们就可以定义向量的模和向量的夹角。

、向量的模、夹角与正交

①向量的模（或长度，或欧几里德范数）第一节向量的内积和正交

定义：

例如：则模：

1x 2

2 x , x

x1 111 , x2 1

42

x1 2

x2 2

第一节向量的内积和正交

②向量的夹角

由Schwarz （许瓦兹）不等式

x , y x 2

y

2

即：两向量内积绝对值≤两向量模的乘积。

即：

x , y

x2 y 1

2

第一节向量的内积和正交

cos 1

则cos

x , y

x1

2 y 2

Schwarz不等式定义两向量 x 和 y

x ， y arccos

x ， y x2 y2

y 角描述了两向量之间的相关程度。

x

因此，可根据之间的夹角：

第一节向量的内积和正交

可见：二向量之间的夹角越小，其相关程度越大；

当θ为零时，二向量相互平行—线性相关。

即

x ， y cos 1

1 0

y

x 当θ

2

时， x , y y

T

x 0

反之，若

x , y y T

x 0

则θ

2

x

两向量正交！

第一节向量的内积和正交

③两向量正交的概念（由内积定义引出）定义：设

x , y R

n

(Rn

向量空间)

若

x , y 0

则称

x 与 y 正交。

记为

x y 特别当 x 2

y 2

1时，且

x y

称

x 与 y 相互规范正交.（规一化！）

说明：复数域上n维线性空间

C

n

中向量的模、

Rn中完全相同。不再重复叙述。

向量间夹角与两向量正交的概念与

第一节向量的内积和正交

∵工程实际一般要求特征问题为

K M

称为广义特征问题。

因此需引出广义加权内积、加权规范化和加权正交等概念。这里的权表现为质量矩阵。

设[M]是正定的对称质量矩阵

M R

n n

,

x , y 思考：

R

n

正定矩阵？

1、广义内积定义

M x , y y T

M x

n

n

mijxjyi x , y i 1j 1M

第一节向量的内积和正交

可以证明：当[M]对称正定时，即

M

M

广义内积满足前面内积的4条性质，否则将不具有前4条性质！

2、广义模定义：

x

M

x , x 12M

M x , x

12

1

x

T

M x

2

3、广义正交定义：

当 x , y M 0时，称

x 与 y 广义正交，即

y T

M x 0

第一节向量的内积和正交

4、正交组及规范正交组①若m 个向量

x1 ， x2 ， xm

中两两相互正交，即：

xi ， xj 0

即

xj

T xi 0

xi ， xj M

0即

x

j

T

M xi 0

则

x1 ， x2 ， ，

xm 构成了正交组。