【金版学案】2015-2016高中数学 2.1.3空间中直线与平面、平面与

2．1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 基

础

梳理

1．直线和平面的位置关系．

练习1：正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AB相交的面有多少个？

答案：两个

练习2：直线在平面外，则直线与平面的关系是什么？

答案：平行或相交

练习3：直线与平面有公共点，则直线与平面的关系是什么？

答案：直线与平面相交或直线在平面内

练习4：直线与平面没有公共点，则直线与平面的关系是什么？

答案：直线与平面平行

练习5：当直线与平面相交时，平面上是否存在与该直线平行的直线？

答案：不存在

2．两个平面的位置关系．

1．直线a与平面α平行，直线b与平面α也平行，则a与b有怎样的位置关系？ 解析：直线a与b平行，相交或异面．

2．一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则该直线与另一个平面具有怎样的位置关系？

解析：该直线与另一个平面无公共点，故该直线与另一个平面平行．

自测自评

1．a∥α，b α，那么a，b的位置关系是(D)

A．平行

B．异面

C．相交或平行或异面

D．平行或异面

解析：a与α无公共点，a与b也无公共点，故a∥b或a与b异面．

2．直线m∥平面α，则m与α的公共点有(A)

A．0个 B．1个

C．2个 D．无数个

3．若直线a平行于直线b，则过a且与b平行的平面有无数个．

4．直线l与平面α有两个公共点，则(D)

A．l α B．l∥α

C．l与α相交 D．l α

基础达标

1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是(D)

A．b∥α B．b与α相交

C．b α D．b∥α或b与α相交

解析：b α，否则a与b异面或平行．

2．直线a在平面γ外，则(D)

A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

解析：a在平面γ外，包括两种情况：一是直线a与平面γ相交，二是直线a与平面γ平行，故至多有一个公共点．

3．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线(D)

A．平行 B．异面

C．相交 D．平行或异面

4．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系为(D)

A．相交 B．平行

C．异面 D．平行或异面或相交

解析：∵a∥平面α，∴a与α无公共点．

又∵b∥α，∴b与α也无公共点，

∴a∥b或a与b异面或a与b相交．

5．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，则(B) A．α∥平面ABC

B．△ABC中至少有一条边平行于α

C．△ABC中至少有两条边平行于α

D．△ABC中只可能有一条边与α相交

解析：由题意，△ABC所在平面与平面α只可能为相交或平行的关系，若相交，则只有一边与α平行；若平行，则三边与α均平行．

6．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD­A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

答案：①② 巩固提升

7．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(D)

A．α内的所有直线均与直线a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

解析：依题意知，直线a可能位于平面α内，也可能与平面α相交．当直线a位于平面α内时，A，B，C均不正确，因此选D.

8．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．

证明：原题可化为已知：A∈α，A∈a，B α，B∈a.

求证：直线a与平面α相交．

证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a α.

假设a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾．

假设a α，就与B∈a，B α矛盾．

∴假设不成立．

∴直线a和平面α相交．

9．如图1是一个正方体(如图2)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题：

(1)求MN和PQ所成角的大小；

(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．

解析：(1)MN与PQ是异面直线，如图，在正方体中，PQ∥NC，∠MNC为MN与PQ所成角． ∵MN＝NC＝MC，

∴∠MNC＝60°

.

(2)设正方体的棱长为a，则正方体的体积V＝a. 3

而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP⊥面MPQ.

1113∴VNPQM＝×MP·MQ·NP＝a， 326

即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为16.

1．直线与直线的位置关系有三种，直线与平面的位置关系有三种，平面与平面的位置关系有两种，在判断其位置关系时，要善于采取逐一判断的方法，以免漏掉一种情形．

2．要充分借助长方体、正方体和现实生活中实物模型的辅助作用，研究、解决相关问题．