2006～2011浙江省高中数学竞赛试题选(高二部分)

浙江省高中数学竞赛试题选 高二部分

2006～2011浙江省高中数学竞赛试题选(高二部分)

1.(2011年,3)设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：x A B， 命题q：x A或x B，则p是q的（ ）

A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件

2.(2010年,2)

若p:(x2 x 1 0,q:x 2，则p是q的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. (2011年,6)设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）

A. 4+

5 3 B. 4+ C. 4+ D. 4+ 222

（

）

正视图：半径为1 的半

圆以及高为1的矩形 侧视图：半径为1 的1/4圆以及高为1的矩形 俯视图：半径为1 的圆

4.(2010年,9)下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为

A．

3

2

B．

2

3

C．

4

3

D．

3 4

5.(2011年,14)直三棱柱ABC A1B1C1，底面 ABC是正三角形，P，E分别为BB1，CC1上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PD PE。则直线AP,PE的夹角为______。

6.(2010年,5)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若

1，则CA1与C1B所成的角的大小是（ ）A．60° B．75° C．90° D．105°

7.(2008年,6)圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）

A.

B.

3 C. 3 D.

22

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8.(2009年,9)已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（ ）

A． 1 B．

111 C． D． 236

9.(2009年,16)在边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F分别为AA且AE C1F，CC1上的点，1，则四边形EBFD1的面积最小值为。

10.(2009年,18)三棱锥S-ABC中，SA 平面ABC，AB BC SA 1， ABC

（1） 求SC与平面ABC所成夹角的正弦值；

（2） 求B到平面ASC的距离；

（3） 求平面SBC与SAC所成锐二面角的大小。

2

。

x2

y2 1的右焦点F2作倾斜角为45 弦AB，则AB为（ ） 11.(2011年,4) 过椭圆2

A.

B.

C.

D. 3333

12.(2011年,8)在平面区域(x,y)|x| 1,|y| 1上恒有ax 2by 2，则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 32

25x2y2

1上一点P到点（4, 0）距离等于4，则P点到直线x 的距离为13.(2009年,2)已知椭圆

4259

（ ） A．4 B． 6 C．

155

D． 24

x2 y2

1上一点Ａ到左焦点的距离为

，则点Ａ到直线x 14.(2007年,3)已知椭圆的距离为4（ ） A. 2

B.

C.

D. 15.(2006年,2)已知两点A（1,2），B（3,1）到直线L

L共有（ ）A、1条 B、2条 C、 3条 D、 4条 16.(2011年,15)设x,y为实数，则

5x 4y 10x

22

max(x y) __________。 22

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17.(2010年,13)设P是圆x2 y2 36上一动点，A点坐标为 20,0 。当P在圆上运动时，线段PA的中点

M的轨迹方程为.

18.(2008年,10)设实系数一元二次方程x2 ax 2b 2 0有两个相异实根，其中一根在区间

(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则

b 4

的取值范围是 。 a 1

x2y2

19.(2011年,20)已知椭圆2 2 1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)为F1右侧

54

一点，连AD、BD分别交直线x

25

于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 F1，求 a的值。 3

x22

20.(2010年,20)已知椭圆2 y 1(a 1)，Rt ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交

a

于两点B、C。若△ABC面积的最大值为

27

，求a的值。 8

OA OB。21.(2009年,19)已知抛物线y2 2px（p 0）上两个动点A(x1,y1),B(x2,y2)，O为坐标原点， （1）

求线段AB中点的轨迹方程C； （2）若在C

上的点到直线x 2y p 0的距离为d，求d的最小值。

x2y2425

22.(2008年,13)已知椭圆C：2 2 1（a b 0），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求a,b之

52ab

值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺

时针方向排列），求P点的轨迹方程。

22

23.(2007年,13)设Ｐ，Ｑ为圆周x y 1上的两动点，且满足与圆内一定点A(0,)，使 PAQ

12

2

，

求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M的轨迹。

24.(2006年,13)在x轴同侧的两个圆：动圆C1和圆4a2x2 4a2y2 4abx 2ay b2 0外切（a,b N,a 0），且动圆C1与x轴相切，求 （1）动圆C1的圆心轨迹方程L;

（2）若直线4( 1)abx 4ay b2 a2 6958a 0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之值。

1.解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。

2.解答为 B。p成立 x 3，所以p 成立，推不出q一定成立。 3.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（

），所以该几何体的体积为2

2 2 1 3

2

4

5

。正确答案为A。 2

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4.解答：C. 根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

5.解答：因为平面ABC⊥平面BCC1B1，AD⊥BC，所以AD⊥平面BCC1B1，所以 AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为90。

6.C解答：C。建立空间直角坐标系，以A1B1所在的直线为x轴，在平面A1B1C1上垂直于A1B1 的直线为y

轴，BB1所在的直线为z轴。则

A

1C1C 2222

1),C1B ( CA1 C1B 0。 2222

，P(x,y,0).于是

有B

(0,0,1)，CA1 7. 解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0),

B(0,1,0),S

, M 由于AM (0,)MP, x(,y).AM⊥MP，所以

3 (x,y, 0，即y ，此为P

点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为

4 因此 选 B。

8. 答案为 C。

10.解：在平面ABC上，过A作AD AB。以A为原点，以向量AB，AD，AS的方向分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。于是有A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)。

9.解：由题意，可得 当E，F分别是AA11，CC1的中点时，四边形EBFD

（1） 因为SA 平面ABC，所以SC与平面ABC所成夹角就是 ACS。在直角△SAC

中，

SA AC SC

sin ACS （5分） SC

（2） 设平面ASC的法向量为n (x,y,z)，则n AS且n SC，而AS (0,0,1),SC (1,1, 1)，所以 AB n z 0 ，从而有n (1, 1,0)。于是B到平面ASC

的距离为d

x y z 0n

（3） 设平面SBC的法向量为m (x,y,z)，则m BC且m SC，而BC (0,1,0)，所以

0， x yy z 0

从而有m (1,0,1)。

m n1

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