2009年高考数学压轴题突破训练7

高考数学

2009年高考数学压轴题突破训练7

1．设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：

①

an an 2

2

an 1; ②an M.其中n N,M是与n无关的常数.

*

（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W （2）设数列{bn}的通项为bn 5n 2n,且{bn} W，求M的取值范围；

（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn} W.证明：cn cn 1

2．数列 an 和数列 bn （n N+）由下列条件确定： （1）a1 0，b1 0；

（2）当k 2时，ak与bk满足如下条件：当当

ak 1 bk 1

2

0时，ak

ak 1 bk 1

2

ak 1 bk 1

2

0时，ak ak 1，bk

ak 1 bk 1

2

；

，bk bk 1.

解答下列问题：

（Ⅰ）证明数列 ak bk 是等比数列；

（Ⅱ）记数列 n(bk an) 的前n项和为Sn，若已知当a 1时，lim

na

n

n

0，求limSn.

n

（Ⅲ）n(n 2)是满足b1 b2 bn的最大整数时，用a1，b1表示n满足的条件.

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3. 已知函数f x lnx

1x

ax,x 0, (a为实常数)．

(1) 当a = 0时，求f x 的最小值；

(2)若f x 在[2, )上是单调函数，求a的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn

4.设函数f(x) x3 ax2 bx(x 0)的图象与直线y 4相切于M(1,4)． （Ⅰ）求f(x) x3 ax2 bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）是否存在两个不等正数s,t(s t)，当x [s,t]时，函数f(x) x3 ax2 bx的值域也是[s,t]，若存在，求出所有这样的正数s,t；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设存在两个不等正数s,t(s t)，当x [s,t]时，函数f(x) x ax bx的值域是[ks,kt]，求正数k的取值范围．

3

2

1xn 1

1 n N

*

, 证明：x

*

≤1(n∈N)． n

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5. 已知数列 an 中，a1 1，nan 1 2(a1 a2 ... an) n N* ． （1）求a2,a3,a4；

（2）求数列 an 的通项an； （3）设数列{bn}满足b1

6、设函数f x 1 x 2ln 1 x .

2

12

,bn 1

1ak

bn bn，求证：bn 1(n k)

2

(1)求f x 的单调区间;

(2)若当x 1,e 1 时,(其中e 2.718 )不等式f x m恒成立,求实数m的取

e 值范围;

(3)试讨论关于x的方程:f x x x a在区间 0,2 上的根的个数.

2

1

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7、已知f(x) x2 ax a(a 2,x R)，g(x) e x， (x) f(x) g(x). （1）当a 1时，求 (x)的单调区间；

（2）求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x 1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积；

（3）是否存在实数a，使 (x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理

由.

8、已知椭圆C1:

xa

22

yb

22

1(a b 0)的离心率为

33

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、

椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。 （1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动

直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且 满足QR RS 0， 求|QS|的取值范围。

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9、已知F1,F2是椭圆C:

xa

22

yb

22

1（a>b>0）的左、右焦点，点

P(在椭圆上，

线段PF2与y轴的交点M满足PM F2M 0。

（1）求椭圆C的方程。

（2）椭圆C上任一动点M(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。

10、已知A,B,C均在椭圆M:

xa

22

y

2

1(a 1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦

2

点F1、F2，当AC F1F2 0时，有9AF1 AF2 AF1.

(Ⅰ)求椭圆M的方程;

(Ⅱ)设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2 y 2 1的任一条直径，求PE PF

2

的最大值.

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参考答案：

1.（本小题满分16分）

（1）解：设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=－2， 所以Sn na1 Sn Sn 2

2

n(n 1)

2

d n 9n……………………………………2分

2

由1＜0

得

Sn 1

12

[( n 9n) (n 2) 9(n 2) 2(n 1) 18(n 1)]=－

222

Sn Sn 2

2

2

Sn 1,适合条件①；

92)

2

又Sn n 9n (n

814

所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，

适合条件②

综上，{Sn}∈W………………………………………………4分

n 1nn

5n 2 5 2 （2）解：因为bn 1 bn 5(n 1) 2

所以当n≥3时，bn 1 bn 0，此时数列{bn}单调递减；

当n=1，2时，bn 1 bn 0，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7 所以M≥7………………………………………………8分 （3）解：假设存在正整数k，使得ck ck 1成立

由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck ck 1 1即ck 1 ck 1

ck ck 2

2

因为

ck 1,所以ck 2 2ck 1 ck 2(ck 1) ck ck 2

由ck 2 2ck 1 ck及ck ck 1,得ck 2 2ck 2 ck 1 ck 1,故ck 2 ck 1 1 因ck 1 ck 3

2

ck 2,所以ck 3 2ck 2 ck 1 2(ck 1 1) ck 1 ck 1 2 ck 3

为

*

……………………依次类推，可得ck m ck m(m N)

设ck p(p N),则当m p时，有ck p ck p 0

*

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这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n∈N,都有cn cn 1成立.( 16分) 2．（本题满分14分）数列 an 和数列 bn （n N+）由下列条件确定： （1）a1 0，b1 0；（2）当k 2时，ak与bk满足如下条件：当

bk

ak 1 bk 1

2

ak 1 bk 1

2

0时，ak ak 1，

*

；当

ak 1 bk 1

2

0时，ak

ak 1 bk 1

2

，bk bk 1.

解答下列问题：（Ⅰ）证明数列 ak bk 是等比数列；

（Ⅱ）记数列 n(bk an) 的前n项和为Sn，若已知当a 1时，lim

na

n

n

0，求limSn.

n

（Ⅲ）n(n 2)是满足b1 b2 bn的最大整数时，用a1，b1表示n满足的条件. 解：（Ⅰ）当当

ak 1 bk 1

2

ak 1 bk 1

2

0时，bk ak

ak 1 bk 1

2212

12 ak 1

12

(bk 1 ak 1)，

0时，bk ak bk 1

ak 1 bk 1

(bk 1 ak 1)，

所以不论哪种情况，都有bk ak 比数列.…（4分）

(bk 1 ak 1)，又显然b1 a1 0，故数列 ak bk 是等

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn an (b1 a1)()n 1，故n(bn an) (b1 a1)

2

Sn (b1 a1)(1 12

Sn (b1 a1)(12

1222 3222

22

1n2

n 1

， 所

以

32

3

n 12

n 2

n2

n 1

)n2

n

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