1-4第4节 条件概率

第4 条节概率件一 、1 .件条概率与乘公法 式件条率

概 1 将一枚例硬币掷抛两次, 观察其 出现正反的面 况情设事件A.{=少至一有次正为H},面件B={事两次掷出 一面同,}已知求事件A生的条发下事件件 发生的概率. B解样本 空间Ω=为HH,H{T,THTT},B=,{H,HT},TA= HH,H{,THT}.若记已知事件发A生的件下事条 件B发生概率的为(PBA|)则, 有(B|P)=A/31易知 P A(=3)4/ ,(AB)P=/41 P(B,A|=)/13(1=4/)(//43,)P ( AB )故有 P B( |A ) P( A )

例 1某有甲厂乙、两车个间生产同种型一的产号 ，结品果下表，从这10如0件产品任一件，设取A表示取 甲车间产到品，表示取B合格到品，则A 示表 到乙取间产车，品B 示表取次到品 ，P(求), A(PB,)P(AB), P B(|A).合格 品 数 甲车间 产品 数乙车产品数 间 总 3数55 0 8 5 品 次 5数1 01 总 54 00 100 6数果结: 0.0,048.50.,530.,875

解

4 P0() A 0 40. 100 85P ()B 0 8. 1500 3 5P(AB) 0 . 5 3010而P(B|)A实上质在是件事发生的A条件B发 下的概生(率甲即间车生的合产品率)格，由 甲车于间品产有40件而其中合，品格3有件5所3以 P(B|5A ) 0 . 758 4

0从例看此，出P B( )P (B )A 这是为因P()是整B批品产中的合品格，率这时 样本间空是厂生该产的100件产品考虑的中 所以，P,B)(0=85.而 (B|A)是P知事件已发A的生件条，B下生的发概，率即是甲求间产车中品合的格品，率此时在缩小是的样了空本间甲(间生车的 4产0产品)件中虑考，一步进分析，可以还现发3 55 3 /00 P1(B) A(P|B) A 40 4 / 0001 P()A

对

一于的般古典型概，试设验的基事件本 总为n数,A包含所的基事本件数m为m>()0,BA 所含的包基本事数为件k记,已事知件发A的 条生下件件B事发生的率为概(BPA)|,有则k P (B )AP ( B |A ) m P( A )对几何于概型，果如正方在内形等可能 点，若投知已B生，发则A发的生概为率S ABS B AS/ Ω (AB) P(BP|A ) SB S B S /ΩP B()条

概率件是在事指A件生发条件下，另的一 事B件生发的概，率用记P(BA)| 定义3.1 设A.,B两个是件事,P且()A>0称P , (B )A P(B |)A P(A

为)在件事发生的条件下A事件发生B的条概率.件

件条率概的性条质概件符率概率合义中定的个条件三.

(1即)对于一任事件,有B(P|B)≥0A;(2P()Ω|A=1);( 3)列可可性加设B:1,2,…BBn ,…是两互两不相 的容件事则有,

P

B A i 1 i

i

1(BiP| )A因此概率中的,些一要重果都结用于适件概条率 .证明( 教见材

)例

2场上供市应的泡灯，甲厂产品占中7%0, 厂乙30占%甲厂,品产的合格品是率9%5乙，厂合的 品格是率8 %0 ,若用事 B件、 分别示甲表乙、两厂 产的，品 表示A品为产格合品试，求下事列件的 概率 ：PB),P(( B)P(A,B),|P( AB|,P)(|B),PA (AB| )解依题意B

PB() 7 %0P( B) 0%3(PAB ) 8%0(P AB ) 20%P(AB) 9%5P( AB ) 5%

例3 考虑 恰两有小孩个家庭的，已知若一家某 有男求孩家有这个两孩男概率的；若知已家第 一某个是孩，男这家有求个男两孩(相于第当个 也二男是)的孩率(假定概生生女为男等能) 可解 A 设表有男孩，示表示B两个男有，孩C 表第一个示是男，我孩们有Ω =男{男，男，女女男，女} 女A{男=男，男，女女男}, =B男男{} =C男男，男女{}于

得是P() A 3/ 4P AB) ( P( ) B /1 4(PC) B P(B ) 1 /4 所的求个条件概两率为(PA) 1 B/ 4(PB|A ) 1/3 PA()3 / 4 (PBC 1)/ 4 P( |C) B 1 /2 P (C)1 /

2

例 设401件产0品中有5次品,件从任取两次中每 ,取次一,作件放不抽回.样设=A第{一次到抽格合 品}B,{第二次抽到次=品},P(B|A)求.解法1 A在发生已条件下的,产品变数9为件9其 ,次品数中为5仍,所以件P (|BA)=599/ 解法2从1 0件产品中连0续抽取件(抽2后放不回) ,其样空本Ω的间基事件总本数为10×099,AB使 生发基本事的数为9件×5.5于 是(AP)=B95(×)/(1050×99) (AP)9=/150 0故有P(BA)=5|/9=90.5001

例54设10 件产品0有5中次件,品从任中两取次每 ,次取件,一作放不抽回样设.={A一第次到合抽格品 }B={第,次二到抽次品}求P,B|A)(解法3 因.样为本空间的基本Ω件总数事为 10099 ×中其使A生发的基本件数事为9 ×55 9+×54 9A发生在条件的下B生发的基本事数为件9 5× 5所以P B|(A)=5/9=090505.1

2.乘法公

式由条概件定义可率下得定面 乘理定理法 P(A)若0>,有则 (PBA=P)(|A)PB()A上 式为乘法公式称

乘法公.式以推广可任到有限个事件的意情. 设A1,况A2,…An,试为E验的中n事件个,且P(1A2A…A-n1)>,0

有P则(AA21…A)n =(A1P)PA(2|A1P()A3|1AA)2P…A(|An1A2An-…1

例)5 个一子中有6盒白球只4,只球黑从中不放 回地，每次取1只，连任取3次，第三求才取次白 得球的概率.解 设事件 Ai 表第 i 次示得白取球 i=(1、 2、 3 , )A表示三次才第得取白. 则 易球

知 A1AA2 A3(P A 12AA3 ) (PA 1 )P(A 2 A1| P()A3 | 1 A2 A) 4 / 1 0 /3 9 6/ 8 0 .1P( A 1 ) 4 / 10, P( 2A |1 A) 3/ 9, P(A | 31 AA2) 6 /8

例 袋中装6有两红球个三和个球白从中依次,取 两个出,求两都是红个球概的.解率设

A1={第 次一得取球红} A2,={第次取得红二}球 .()1 若用不放“抽回样” ,则 (A P )A=P( )A(A PA |)(2=5)×(/1/4=0.)11 2 1 2 1() 若2用有“放抽回”,样则 P A( A) P=( A)P(A A )=|(2/)×52(/5=)0.611 2 12 1 注意 :题如中意明未确出是有放指抽样回则，认 总为是不放回样抽

。例 设7光某仪学器厂造制的镜,第一次落透下 时打破的率概 为1/2;若第一 落下未打次 破 ,第次二 下时打落破的概率7/为1;若前0二次落下打破未, 第次

三落下打时破的率概 为/109 .试透镜落下求 三次未打破的概而. 解法率设 A={i镜透i次第下未打落}破,i=(,1,3)2 B=,透镜{落三次下未打破}而 则 ,=AB12A3,A故 P(B有)=(A1A2A3P=)P(1)A(PA2A1)P(|A3|1AA2 )=(-112/)(-171/)(0-1/901 =3/)200=0.150